簡捷法繪制單跨靜定梁的內力圖分析
2008-12-31 00:00:00彭賢玉
現代商貿工業 2008年10期
摘 要：正確計算截面內力，快速繪制靜定梁內力圖十分重要，闡述了用簡捷法作單跨靜定梁的內力圖的基本條件，并舉例說明了內力圖在集中力、集中力偶處的特點和規律，還強調了彎矩圖中拋物線的開口方向以及控制截面的選擇方法。
關鍵詞：簡捷法；剪力；剪力圖；彎矩；彎矩圖
中圖分類號：TP27文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）10-0379-02
梁的內力圖繪制的目的是用圖示方法形象地表示出剪力Q、彎矩M沿梁長變化的情況，繪制梁的內力圖是材料力學教材中的一個重點和難點內容，熟練、正確地繪制內力圖是材料力學的一項基本功，也是后續課程結構力學的基礎。繪制梁內力圖的方法有靜力法、簡捷法和疊加法，其中簡捷法是利用剪力、彎矩和荷載集度之間的微分關系作圖的一種簡便方法，通常是用來確定梁的危險截面作為強度計算的依據，因此熟練掌握簡捷法作梁的內力圖是十分必要的。
1 簡捷法繪制單跨靜定梁的內力圖的基本要求
（1）能快速準確地計算單跨梁的支座反力（懸臂梁除外）
支座反力的正確與否直接影響內力的計算，因此在靜力學的學習過程中要打好基礎。
（2）能用簡便方法求解指定截面的內力
1．1 求剪力的簡便方法
某截面的剪力等于該截面一側所有外力在截面上投影的代數和，即Q=Y左側外力（或）Y右側外力
代數和中的符號為截面左側向上的外力（或右側向下的外力）使截面產生正的剪力，反之產生負剪力。（即外力左上右下為正）
1．2 求彎矩的簡便方法
某截面的彎矩等于該截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和，即M=Mc左側外力（或Mc右側外力）
代數和中的符號為截面的左邊繞截面順時針轉的力矩或力偶矩（或右邊繞截面逆時針轉的力矩或力偶矩）使截面產生正的彎矩，反之產生負彎矩。（即外力矩或力偶矩左順右逆為正）
1．3 舉例說明：求圖1中1-1截面的剪力和彎矩
解：取左側為研究對象，根據簡便方法有：
Q1=25-5×4=5kN M1=25×2-5×4×2=10kN#8226;m
驗證：取右側為研究對象，根據簡便方法有：
Q=15-10=5kN M1=10×4-15×2=10kN#8226;m
1.4 能將梁正確分段，根據各段梁上的荷載情況，判斷剪力圖和彎矩圖的形狀，尋找控制面，算出各控制面的Q和M彎矩、剪力與荷載集度之間的微分關系如下：
dM(x)dx=Q(x)
dQ(x)dx=q(x)
d2M(x)dx2=q(x)
利用彎矩、剪力與荷載集度之間的微分關系及其幾何意義，可總結出下列一些規律，用來校核或繪制梁的剪力圖和彎矩圖，其規律如下表所示：
注意：根據函數圖線的幾何意義，當q＞0（向上）時，彎矩圖為開口向下的二次拋物線；反之q＜0（向下）一時，彎矩圖為開口向上的二次拋物線，即拋物線的凹性和凸性和均布荷載的方向保持一致。
1.5 能根據計算的各控制面的Q和M作圖
作圖時要求基線長度和梁的軸線等長，截面對應，縱標值、正負號、圖名和單位缺一不可。
2 應用舉例
2.1 用簡捷法作圖示梁的內力圖 (特點:無彎矩極值，有剪力突變)
RA=11kN（↑） RB=7kN（↑）
(2)根據梁上的荷載情況，將梁分為AC和BC兩段
(3)計算控制截面的Q值
AC為均布荷載段，剪力圖為斜直線，其控制截面剪力為
QA右=RA=11kN Qc左=10-7=3kN
BC段為無荷載區段，剪力圖為水平線，其控制截面剪力為
Qc右=RB=-7kN
畫出剪力圖如圖2(b)所示
（4）計算控制截面彎矩，畫彎矩圖
AC為均布荷載段，由于q向下，彎矩圖為凸向下的二次拋物線，該段中Q≠0，因此沒有M極，其控制截面彎矩為
MA右=0 MC左=RB×2=14kN#8226;m
BC段為無荷載區段，彎矩圖為斜直線，其控制截面彎矩為
MC右=RB×2=14kN#8226;m MB左=0
畫出彎矩圖如圖2(c)所示。
2.2 用簡捷法作圖示梁的內力圖(特點:有彎矩極值，有彎矩突變)
【解】（1）求支座反力
RA=6kN（↑） Rc=18kN（↑）
（2）根據梁上的荷載情況，將梁分為AB和BC兩段
（3）計算控制截面剪力，畫剪力圖
AB段為無荷載區段，剪力圖為水平線，其控制截面剪力為
QA右=RA=6kN
BC為均布荷載段，剪力圖為斜直線，其控制截面剪力為
QB右=RA=6kN
QC左=-RC=-18kN
畫出剪力圖如圖3(b)所示。
（4）計算控制截面彎矩，畫彎矩圖
AB段為無荷載區段，彎矩圖為斜直線，其控制截面彎矩為
MA右=0
MB左=RA×2=12kN#8226;m
BC為均布荷載段，由于q向下，彎矩圖為凸向下的二次拋物線，其控制截面彎矩為
MB右=RA×2+Me=6×2=12=24kN#8226;m
MC左=0
從剪力圖可知，此段彎矩圖中存在著極值，應該求出極值所在的截面位置及其大小。
設彎矩具有極值的截面距右端的距離為a，由該截面上剪力等于零的條件可求得a值，即
Q(x)=-Rc+qa=0
a=Rcq=186=3m
彎矩的極值為
Mmax=Rc#8226;a-12qa2=18×3-6×322=27kN#8226;m
畫出彎矩圖如圖3(c) 所示。
3 結語
由以上兩題可知：
（1）在集中力作用截面處，剪力圖發生突變，突變的大小等于集中力的大小；
（2）在集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖將發生突變，突變的大小等于集中力偶矩的大小；（3）若在梁的某一截面上剪力為零，即彎矩圖在該點的斜率為零，則在該截面處彎矩存在極值。
參考文獻
［1］沈養中，董平. 材料力學［M］.北京:科教出版社，2002.
［2］孔七一. 工程力學［M］.北京:人民交通出版社，2005.
