未定式極限的求解方法分析
2008-12-31 00:00:00王偉珠
現代商貿工業 2008年11期
摘 要：通過總結未定式的極限的求解方法，分析了常用的求未定式的極限方法，以幫助初學者對未定式極限的求解方法更好的理解和掌握。
關鍵詞：未定式；極限；求解方法
中圖分類號：015文獻標識碼：A文章編號：1672-3198（2008）11-0254-02
極限對初學者而言，是一道很難過的關，尤其是未定式的極限求解。但為了學好高等數學還是要打好這個基礎。在求解極限的過程中，經常會遇到求解未定式極限的問題，常用的未定式的極限主要就分成以下五種類型，分別是00，∞∞，0#8226;∞，∞-∞以及00，1∞，∞0。后面三種的解決方式相同，所以常看成一種類型。
本文將從五個方面，通過利用羅比達法則以及恒等變形的方法，對常用的未定式極限的求解方法進行解析。
1 00型未定式
解決這類未定式問題一般可以通過五種方法解題：
1.1 因式分解法，約去零因式，轉化為普通的極限問題
例1 （1）求極限limx→4x2-7x+12x2-5x+4.（2）求極限limx→1xn-1xm-1(m，n∈N+，m≠n).
解 （1）當x→4時，此極限是00型，因為分子和分母有公因式x-4，而x→4時，x-4≠0，可約去這個公因式。所以
limx→4x2-7x+12x2-5x+4=limx→4(x-3)(x-4)(x-1)(x-4)=limx→4x-3x-1=13.
（2）當x→1時，此極限是00型，因為分子和分母有公因式x-1，而x→1時，x-1≠0，可約去這個因式。所以
limx→1xn-1xm-1=
limx→1(x-1)(xn-1+xn-2+Λ+x+1)(x-1)(xm-1xm-2+Λ+x+1)
=limx→1(xn-1+xn-2+Λ+x+1)(xm-1+xm-2+Λ+x+1)=nm.
1.2 根式有理化，再約去零因子，轉化為普通的極限問題
例2（1）求極限limx→01-1+x2x2.（2）求極限limx→4x-2-22x+1-3.
解（1）當x→0時，此極限是00型，將分子有理化得
limx→01-1+x2x2=
limx→0(1-1+x2)(1+1+x2)x2(1+1+x2)
=limx→0-x2x2(1+1+x2)
=
limx→0-11+1+x2=-12.
（2）當x→4時，此極限是00型，將分子分母同時有理化得
limx→4x-2-22x+1-3
=limx→4(x-2-2)(x-2+2)(2x+1+3)(2x+1-3)(x-2+2)(2x+1+3)
=limx→4(x-4)(2x+1+3)2(x-4)(x-2+2)
=limx→42x+1+32(x-2+2)=
322.
1.3 兩個重要極限之（一）法求極限
例3 （1）求極限limx→0tgxx.（2）求極限limx→01-cosxx2.
解 (1)limx→0tgxx=limx→0siimxx#8226;1cosx=limx→0sinxx#8226;limx→01cosx=1.
(2)limx→01-cosxx2=limx→02sin2x2x2=limx→012sinx2x22=12.
1.4 等價無窮小量代換法求極限
例4 （1）求極限limx→01-cosxln(1+2x).（2）求極限limx→∞tg31n#8226;arctg3nnsin2n3#8226;tg1n#8226;arcsin5n.
解 （1）當x→0時，1-cosx~12x2，ln(1+2x)~2x，所以
limx→01-cosxln(1+2x)=limx→012x22x=0.
（2）當n→∞時，tg1n~1n，arctg3nn~3nn，sin2n3~2n3，tg1n~1n，arcsin5n~5n，所以
limx→∞tg31n#8226;arctg3nnsin2n3#8226;tg1n#8226;arcsin5n=
limx→∞1n3#8226;3nn2n3#8226;1n#8226;5n=310.
1.5 羅比達法則求極限法求極限
例1 （1）求極限limx→0ex-e-x-2xx-sinx.（2）求極限limx→0(1+x)α-1x（α為任意實數）.
解 （1）limx→0ex-e-x-2xx-sinx00=limx→0ex-e-x-21-cosx00=
limx→0ex-e-xsinx00=
limx→0ex+e-xcosx=2.
（2）limx→0(1-x)α-1x00=limx→0α(1+x)α-11=α.
2 型未定式
2.1 多項式商的未定式極限一般有如下結論
limx→0a0xn+a1xn-1+Λ+an-1x+anb0xm+b1xm-1+Λ+bm-1x+bm=
0n＜ma0b0n=m∞n＞m.
其中a1，a1，Λ，an，b0，b1，Λ，bn為常數，且a0≠0，b0≠0，m，n為正整數。
例1 求極限limx→∞2x2+3x-43x2-5x+3.
解 當x→∞時，此極限是∞∞型，用x2 除分子、分母，然后求極限，得
limx→∞2x2+3x-43x2-5x+3=
limx→∞2+3x-4x23-5x+3x2=23.
也可以用結論n=m時，等于系數比值23.
例2 求極限limx→∞x2-3x+2x3+6x-1.
解 當x→∞時，此極限是∞∞型，用x3除分子、分母，然后求極限，得
limx→∞x2-3x+2x3+6x-1=limx→∞1x-3x2+2x31+6x2-1x3=01=0.
也可以用結論n＜m時，等于0。
例3 求極限limx→∞2x3+18x2+7x.
解 當x→∞時，此極限是∞∞型，將分子、分母同除以x3，得
limx→∞2x3+18x2+7x=limx→∞2+1x38x+7x2=∞.
也可以用結論n＞m時，等于∞。
2.2 羅比達法則求極限
例4 （1）求極限limx→0+ln sin2xln sin3x.（2）求極限limx→0+ln ctgxlnx.（3）求極限limx→x2tgxtg3x.
解 （1）limx→0+ln sin2xln sin3x∞∞=limx→0+cos2xsin2x#8226;2cos3xsin3x#8226;3=limx→0+sin3xsin2x#8226;cos2xcos3x#8226;23=1.
（2）limx→0+ln ctgxlnx∞∞=limx→0+1ctgx(-csc2x)1x=
limx→0+-xsinxcosx00=-limx→0+xsinx#8226;limx→0+1cosx=-1.
（3）此題是∞∞型未定式，先化簡，再用法則可使問題簡化。
limx→π2tgxtg3x=
limx→π2sinxsin3x#8226;cos3xcosx00=limx→π2sinxsin3x#8226;limx→π2cos3xcosx
=-limx→π2cos3xcosx00=
-limx→π2-3sin3x-sinx=3.
3 型未定式
解這類題的基本方法是將其轉化為00型或者∞∞型未定式，然后再計算。
例1 （1）求極限limx→∞(e1x-1).（2）求極限limx→+∞x(x+1-x-1).
解 （1）此例是0#8226;∞未定式，將原式中的x寫在分母上，使其變為00型后運用羅比達法則。即
limx→∞x(e1x-1)=limx→∞e1x-11x00=limx→∞e1x(-1x2)-1x2=
limx→∞e1x=1.
（2）此例是0#8226;∞未定式，將原式根式有理化，使其變為∞∞型后運用羅比達法則。即
limx→+∞x(x+1-x-1)
=
limx→+∞x(x+1-x-1)(x+1+x-1)x+1+x-1
=limx→+∞2xx+1+x-1=
limx→+∞21+1x+1-1x=1.
4 型未定式
對于這一類型的未定式的極限問題，必須將它們化為00型或∞∞型后方可使用羅比達法則。
例1（1）求極限limx→0(1x-1ex-1)．（2）求極限limx→1(x1-x-21-x2).
解 （1）此例是∞-∞型未定式，通分變形后，運用羅比達法則，得
limx→0(1x-1ex-1)=limx→0ex-1-xx(ex-1)00=limx→0ex-1ex-1+xex00=limx→0exex+ex+xex=12.
（2）此例是∞-∞未定式，將原式通分后，使其變為00型后運用羅比達法則。即
limx→1x1-x-21-x2=
limx→1(x2+x-2)1-x200=
limx→12x+1-2x=-32.
5 型未定式
例1 求limx→0xsinx.
解 此例是00型未定式，恒等變形為xsinx=esinx#8226;lnx
由limx→0+sinxlnx=limx→0+lnxcscx∞∞=limx→0+1x-cscxcotx=
limx→0+-xsinxx21cosx=0
所以limx→0+xsinx=e0=1.
例2 求limx→0+(cosx)1x．
解 此例是1∞型未定式，恒等變形為(cosx)1x=e1xln cosx
由limx→0+ln cosxx00=
limx→0+-sinxcosx#8226;12x=limx→0+-12cosx#8226;limx→0+sinxx=-12
所以limx→0+(cosx)1x=e-12=1e.
例3 求limx→0(1+1x2)x．
解 此例是∞0型未定式，恒等變形為(1+1x2)x=exln(1+1x2)
由于
limx→0xln(1+1x2)0#8226;∞=limx→0
ln(1+1x2)1x∞∞=
limx→∞11+1x2(-2x3)-1x2
=limx→02xx2+1=0
所以limx→0(1+1x2)x=e0=1.
參考文獻
［1］聶洪珍.高等數學（一）微積分［M］.北京：中國對外經濟貿易出版社，2002.
［2］吳傳生.經濟數學——微積分［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［3］吳贛昌.微積分（經管類）上冊［M］.北京：中國人民大學出版社，2007.
