例析彈簧的基本特性及應用
2008-12-31 00:00:00吳國富
物理教學探討 2008年10期
如果一個問題中包含彈簧，我們就將這類問題稱之為彈簧類問題，這類問題多年來一直是高考命題的熱點，各種題型都有，難度多在中等或中等偏上。我們在復習備考中只要抓住彈簧的基本特性，就能以不變應萬變，順利突破彈簧類問題。現將彈簧的基本特性及應用歸納如下：
特性一 在中學階段，凡涉及的彈簧都不考慮其質量，稱之為“輕彈簧”，是一種常見的理想化模型。輕彈簧中的拉力處處相等，且都等于端點處受到的拉力。
例1 如圖１所示，兩輕質彈簧和質量均為m的外殼組成甲、乙兩個彈簧秤，將提環掛有質量為M的重物的乙秤倒掛在甲的掛鉤上，某人手提甲的提環，向上做加速度a=0．25g的勻加速運動，則下列說法正確的是（ ）
A．甲的示數為 1．25(M+m)g
B．乙的示數為0．75(M+m)g
C．乙的示數為1．25Mg
D．乙的示數為0．75Mg
解析 根據牛頓第二定律，選乙的外殼與重物作為研究對象，令彈簧中的拉力為F，有：F-(M+m)g=(M+m)a，解得F=1.25(M+m)g，此即彈簧秤甲的示數；根據特性一中的結論(輕彈簧中的拉力處處相等)不難得到彈簧秤乙的示數也為1.25(M+m)g，故選A。
特性二 由于彈簧的特殊結構，其受拉力或壓力時，其形變較大，發生和恢復形變都需要一段時間，所以輕質彈簧彈力不可以突變，只能漸變。要注意與輕質細線模型區分開。由于理想化的繩不可伸長，無論繩受到的拉力有多大，繩的長度都不變，所以繩上的張力可以突變。
例2 質量為m的小球，在不可伸長的繩AC和輕質彈簧BC作用下靜止，如圖２所示。且AC=BC，∠BAC=θ，若突然在球附近剪斷彈簧或繩子時，小球的加速度分別是多少？
解析 剛剪斷彈簧的瞬間，小球受重力mg和繩的拉力T，其速度為零，故小球沿繩的方向加速度為零，僅有切向加速度且為a=gcosθ，繩的拉力由原來的mg2cosθ突變為mgcosθ；而剪斷繩的瞬間，由于彈簧的拉力不可突變，仍保持原來的大小和方向，故小球受到的合力與原來繩子的拉力大小相等，方向相反，加速度為a=g2cosθ，方向沿AC向下。
特性三 彈簧能承受拉伸的力，也能承受壓縮的力。在分析有關彈簧問題時，要根據題意確定彈簧承受的是拉力還是壓力，從而確定彈簧是處于伸長狀態還是縮短狀態。反過來也可以由彈簧長度與原長關系確定彈簧對物體的作用力大小及方向。
例３ 如圖３所示，質量為m的物體被勁度系數為k2的輕彈簧２懸掛在天花板上，下面還拴著勁度系數為k1的輕彈簧１，托住下彈簧的端點Ａ用力向上壓，當彈簧２的彈力大小為mg2時，彈簧１的下端點Ａ上移的高度是多少？
解析 滿足題意的情況有兩種：（１）當彈簧２的彈力大小為mg2時，彈簧２仍處于伸長狀態，依據ΔF=kΔx有：Δx1=mg2k1，Δx2=mg2k2 ，所以Δx=Δx1+Δx2=mg2(1k1+1k2)。
（２）當彈簧２的彈力大小為mg2時，彈簧２處于壓縮狀態。由平衡知識我們知道此時彈簧1向上的推力為3mg2，依據ΔF=kΔx有：Δx1=3mg2k1，Δx2=3mg2k2，所以 Δx=Δx1+Δx2=3mg2(1k1+1k2)。
特性四 彈簧和物體相互作用時，致使彈簧伸長或縮短時產生的彈力的大小遵循胡克定律，即F=kx或ΔF=kΔx。顯然，與彈簧有關的物理過程一般也是變力作用的過程，要注意彈力的大小與方向時刻要與當時的形變相對應。
例４ 已知彈簧勁度系數為k，物塊質量為m，彈簧立在水平桌面上，下端固定，上端固定一輕質盤，物塊放于盤中，如圖４所示．現給物塊一向下的壓力F，當物塊靜止時，撤去外力．在運動過程中，物塊正好不離開盤，求：
（1）給物塊所受的向下的壓力F。
（2）在運動過程中盤對物塊的最大作用力。
解析 （1）由于物塊正好不離開盤，可知物塊振動到最高點時，彈簧正好處在原長位置，所以有： a=g
由對稱性，物塊在最低點時的加速度也為a，因為盤的質量不計，由牛頓第二定律得：
kx-mg=ma
物塊被壓到最低點靜止時有：F+mg=kx
由以上三式得： F=mg
（2）在最低點時盤對物塊的支持力最大，此時有：FN-mg=ma ，解得FN=2mg
特性五 彈簧發生變形后，具有一定的彈性勢能，彈簧形變量相等時系統彈性勢能相等；彈力做功使系統彈性勢能發生變化，彈簧彈力做的功與彈簧彈性勢能變化量的關系為W=-ΔEP。
例５ 如圖５所示，質量為m1的物體A經一輕質彈簧與下方地面上的質量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數為k，A、B都處于靜止狀態．一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一掛鉤。開始時各段繩都處于伸直狀態，A上方的一段繩沿豎直方向。先在掛鉤上掛一質量為m3的物體C并從靜止狀態釋放，已知它恰好能使B離開地面但不能繼續上升。若將C換成另一個質量為（m1+m3）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態釋放，則這次B剛離開地時D的速度的大小是多少？(已知重力加速度為g)
解析 開始時，A、B靜止，設彈簧的壓縮量為x1，有：kx1=m1g
掛C釋放后，C向下運動，A向上運動，設B剛要離地時彈簧的伸長量為x2，有：kx2=m2g
B不再上升，表示此時A和C的速度為零，C已降到其最低點。由機械能守恒，與初始狀態相比，彈簧彈性勢能的增加量為：
ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2)
將C換成D后，當B剛離地時彈簧彈性勢能的增量與前一次相同，由能量關系得：
12(m3+m1)v2+12m1v2=(m3+m1)g(x1+x2)-m1g(x1+x2)-ΔE
由以上各式得： v=2m1(m1+m2)g2k(2m1+m3)
特性六 兩端均有關聯物的彈簧，伸長到最長或壓縮到最短時，相關聯物體的速度一定相等，彈簧具有最大的彈性勢能；當彈簧恢復原長時，相關聯物體的速度相差最大，彈簧對關聯物體的作用力為零。
例６ 如圖６所示，光滑水平面上，質量為2m的小球B連接著輕質彈簧，處于靜止；質量為m的小球A以初速度v0向右勻速運動，接著逐漸壓縮彈簧并使B運動，過一段時間，A與彈簧分離，設小球A、B與彈簧相互作用過程中無機械能損失，彈簧始終處于彈性限度以內，求：
（1）當彈簧被壓縮到最短時，彈簧的彈性勢能E。
（2）若開始時在小球B的右側某位置固定一塊擋板(圖中未畫出)，在小球A與彈簧分離前使小球B與擋板發生正撞，并在碰后立刻將擋板撤走。設小球B與固定擋板的碰撞時間極短，碰后小球B的速度大小不變、但方向相反。設此后彈簧彈性勢能的最大值為Em，試求Em可能值的范圍。
解析 （1）當A球與彈簧接觸以后，在彈力作用下減速運動，而B球在彈力作用下加速運動，彈簧勢能增加，當A、B速度相同時，彈簧的勢能最大。
設A、B的共同速度為v，彈簧的最大勢能為E，則A、B系統動量守恒，有mv0=(m+2m)v
由機械能守恒12mv20=12(m+2m)v2+E
聯立兩式得E=13mv20
（2）設B球與擋板碰撞前瞬間的速度為vB，此時A的速度為vA，系統動量守恒，有
mv0=mvA+2mvB
B與擋板碰后，以vB向左運動，壓縮彈簧，當A、B速度相同（設為v共 ）時，彈簧勢能最大，有mvA-2mvB=3mv共
根據機械能守恒定律有
12mv20=12×3mv2共+Em
由以上各式解得
Em=8m3［-(vB-v04)2+3v2016］
當彈簧恢復原長時與小球B擋板相碰，vB有最大值vBm，有mv0=mv′A+mv′Bm
12mv20=12mv′2A+12mv2Bm
聯立以上兩式得vBm＝23v0
當vB＝2v03時，Em有最小值為
Emin＝ 127mv20
由上分析可知，當vB＝v04時，Em有最大值為Emax＝12mv20
即vB的取值范圍為0 結束語 從近幾年高考彈簧類問題的特點來看，涉及的力學規律較多，多考查考生綜合分析問題的能力。學習中要學會理清彈簧與系統中其它物體存在的力、動量、能量之間的關系，注意提高綜合分析能力。 注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
