關(guān)于“單擺周期公式的等效性”的應(yīng)用

貴刊在06年第8期刊登了《關(guān)于“異型擺的等效擺長和等效重力加速度”的探討》一文，文中應(yīng)用三種不同的方法對一異型擺問題給以解答。筆者讀過此文后，深受啟發(fā)。為進一步加深對等效擺長和等效重力加速度的理題，現(xiàn)舉例說明。

1 等效擺長

等效擺長為單擺擺球做簡諧運動時的圓心到擺球中心的距離。

例1 如圖1所示。三根細線打結(jié)于O點，AB兩端分別固定在同一水平面上相距為L的兩點上∠AOB=90°，∠BAO=30°。細線OC的長為L。其下端系一個半徑為r的小球，小球的擺幅很小。

（1）若小球在紙面內(nèi)擺動，求其周期T1；

（2）若小球在垂直于紙面的方向擺動，求其周期T2。

解析 （1）若小球在紙面內(nèi)擺動，由于擺角很小，單擺是以O(shè)為圓心，以擺長L′=L0+r的周期性運動。即

T1=2πL′g=2πL0+rg

（2）若小球在垂直于紙面的方向擺動，擺球以CO的延長線與AB的交點為中心擺動，其擺長應(yīng)為L″=L0+r+L2

cos30°

其周期T2=2π4L0+4r+3L4g

例2 如圖2所示，為了測量一凹透鏡凹面的半徑R，讓一個半徑為r的光滑鋼球在凹面內(nèi)做小幅振動。若測出它完成N次全振動的時間為t，則此凹透鏡凹面的半徑為多少？

解析 由于鋼球在凹面內(nèi)做振動幅很小的振動，鋼球的運動可等效為單擺的運動，其等效擺長L=R-r，周期T=2πLg=2πR-rg。因為測得的周期T=tN，則有2πR-rg=tN，即R=t2g4π2N2+r。

2 等效重力加速度

等效重力加速度等于擺球不擺動時滑線的拉力F與擺球質(zhì)量m的比值。即等效重力加速度g0=Fm。

2.1 斜面上的擺

例3 如圖3所示，一小球用長為L的細線系于與水平面 成α角的光滑斜面上。小球處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)使小球偏離平衡位置θ角且θ<5°，然后由靜止釋放，則小球第一次到達最低點所需的時間t為多少？

解析 小球在斜面上做簡諧振動的擺長為L。球在未擺動時靜止于O′位置，此時擺球的受力情況如圖4所示。擺線對球的拉力F=mgsinα，等效重力加速度g0=Fm=gsinα，則 周期T=2πLg0=2πLgsinα，所以小球第一次回到最低點的時間t=14T=π2Lgsinα。

2.2 變速系統(tǒng)中的擺

例4 如圖5所示，單擺的擺長為L懸掛于加速度大小為a的勻加速上升的電梯中。讓單擺在電梯中做簡諧振動，擺角θ很小，則單擺運動的周期T為多少？



解析 單擺做簡諧振動時的擺長為L，擺球相對于電梯不擺時，擺線的拉力為F，由牛頓第二定律可得：F=m(g+a)，

等效重力加速度

g0=Fm=g+a

單擺的周期

T=2πLg0=2πLg+a

2.3 復(fù)合場中的擺

例5 如圖6所示，在光滑絕緣的水平面上，一根長為L的絕緣細線一端系著一個質(zhì)量為m的小球，另一端固定于O點，小球帶電荷量為+q。當(dāng)沿細線方向加上場強為E的勻強電場時，小球靜止。現(xiàn)給小球一垂于于 細線的初速度v0，使小球在水平面內(nèi)開始運動。若初速v0很小，求小球第一次回到平衡位置所經(jīng)歷的時間t是多少？

解析 因為小球的初速v0很小，所以小球的運動可以看成單擺的簡諧運動，小球受到的電場力F=qE，把電場力等效為重力，則等效重力加速度g0=Fm=qEm，周期T=2πLg0=2πmLqE。由于小球從開始運動到第一次回到平衡位置的時間t=12T=πmLqE。

例6 如圖7所示，一帶正電的小球質(zhì)量為m，電量為q，用長為L的絕緣細線懸于O點，整個裝放于水平向右的勻強電場中。開始時小球靜止于A點，懸線與豎直方向的夾角θ=45°。現(xiàn)把小球拉離A點一個很小的角度α后，由靜止釋放，求小球運動的周期T。

解析 小球在電場和重力場的復(fù)合場中靜止于A點，此時小球受細線的拉力F，重力mg電場力qE(如圖8)，由物體的平衡 條件知，F(xiàn)=（qE）2+(mg)2=2mg，所以小球在復(fù)合場中做簡諧運動的等效重力加速度g0=Fm=2g，所以周期T=2πLg0=2πL2q。

例7 如圖9所示，三個完全相同的秒擺，把它們分別按圖中（a）（b）（c）三種情況放置，圖a僅在重力場中，圖b加上一個豎直向下，場強為E的勻強電場，圖c加上方向垂直紙面向里的勻強磁場。小球帶正電荷。讓它們各自在場中做簡諧振動，周期分別為Ta、Tb、Tc。周期的大小關(guān)系為________。

解析 秒擺的周期T=2πLg=2s，對圖a易知Ta=2s。對于圖b：擺球靜止時懸線的拉力Fb=mg+qE，等效重力加速度gb=Fbm=mg+qEm=g+qEm，所以周期Tb=2πLg+qEm，對于圖c，擺球靜止時洛倫茲力為0，此時擺線的拉力Fc=mg，等效重力加速度gc=g，周期Tc=2πLg=2s。所以Ta、Tb、Tc的大小關(guān)系為：Ta=Tc>Tb。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。