速度相同問(wèn)題分類例析

在追及、碰撞問(wèn)題中，當(dāng)兩個(gè)物體速度相同（即相對(duì)速度為零）時(shí)，通常伴隨著某些物理特征出現(xiàn)。如果我們?cè)诮忸}時(shí)，能弄清楚并加以區(qū)別“速度相同”時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)的不同特征，各種追、撞總是便很易求解。下面結(jié)合具體范例作分類分析。

1 兩車速度相同時(shí)，相距最遠(yuǎn)（或最近）的問(wèn)題

例1 一輛汽車以v=30m/s的速度在平直公路上行駛。在它經(jīng)過(guò)公路上的某處A時(shí)，A處的一輛摩托車正以5m/s2的加速度從靜止開(kāi)始與汽車同向起動(dòng)。問(wèn)摩托車追上汽車之前何時(shí)二者相距最遠(yuǎn)？最遠(yuǎn)距離為多少？

解析 汽車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，摩托車做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只要摩托車的速度還小于汽車的速度，它們相距就越來(lái)越遠(yuǎn)，兩車速度相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理特征是兩車相距最遠(yuǎn)。一旦摩托車速度超過(guò)汽車速度，兩車距離將逐漸減小……

由v=at

得：t=va=305s=6s

此時(shí)兩車相距最遠(yuǎn)，其最遠(yuǎn)距離為：

例2 一輛汽車以20m/s的速度沿直路向東行駛，當(dāng)它行駛到靜止在路邊的摩托車西面60m時(shí)，摩托車突然開(kāi)始以4m/s2的加速度向東駛?cè)ァ＃?）汽車能否追上摩托車？（2）何時(shí)兩車距最近？最近距離是多少？

解析 汽車在追趕摩托車的過(guò)程中，只要摩托車的速度還小于汽車的速度，兩車相距就越來(lái)越近，一旦摩托車的速度大于汽車的速度，原來(lái)已被縮小的距離就會(huì)又被拉大，因此兩車速度相同時(shí)，相距最近。

當(dāng)兩車速度相同時(shí)，由v=at

得：t=va=204s=5s

在5s內(nèi)兩車的距離縮短了

ΔS=vt-12at2=50m

因?yàn)棣<60m，所以汽車追不上摩托車，它們相距的最近距離為S′=60m-50m=10m。

2 速度相同時(shí)，兩物體間彈簧伸長(zhǎng)量（壓縮量）最大，彈簧的彈性勢(shì)能最大

例3 如圖1所示，一輕質(zhì)彈簧兩端連著物體A、B并放在光滑的水平面上，水平速度為v0的子彈射中物體A以后嵌在了物體A中。已知mB=m，mA=3m/4，m0=m/4，彈簧的勁度系數(shù)為k。求（1）彈簧壓縮最大時(shí)B的速度；（2）彈簧儲(chǔ)存的最大彈性勢(shì)能。

解析 子彈打入物體A的瞬時(shí)，二者獲得共同速度，它們向右運(yùn)動(dòng)時(shí)壓縮彈簧，在彈簧彈力作用下，物體A做減速運(yùn)動(dòng)，B做加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)B的速度小于A的速度時(shí)，兩物體距離越來(lái)越近，彈簧一直處于縮短狀態(tài)。當(dāng)兩物體速度相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理特征是：①?gòu)椈蓧嚎s量最大；②彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能最大。

將子彈和物體A視為一個(gè)系統(tǒng)，在子彈射進(jìn)A的過(guò)程中，由動(dòng)量守恒定律得：

m0v0=(mA+m0)vA0①

將子彈和物體A、B視為一個(gè)系統(tǒng)，在從子彈碰到A到A、B達(dá)到相同速度的過(guò)程中，由動(dòng)量守恒定律得：

m0v0=(mA+mB+m0)v②

在彈簧被壓縮的過(guò)程中，用能的轉(zhuǎn)化和守恒定律可得彈簧的最大彈性勢(shì)能為：

EP=12（m0+mA）v2A0-12(mA+mB+m0)v2 ③

代入值解①~③得：EP=164mv20

討論 本例中，當(dāng)物體A（包括子彈）和物體B的速度第1次達(dá)到相同時(shí)，彈簧壓縮量最大。之后，在彈力作用下，B繼續(xù)加速，A繼續(xù)減速，vB將大于vA，使A、B間距離增大彈簧壓縮量減小。當(dāng)A的速度減為零、B的速度為vB=vA0時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài)（想想這是為什么）。然后，彈簧逐漸伸長(zhǎng)，由于彈力的作用，B作減速運(yùn)動(dòng)，A做加速運(yùn)動(dòng)，只要vB還大于vA，A、B之間的距離繼續(xù)增大。當(dāng)A、B的速度又相同時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)量最大，彈簧儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能又達(dá)到最大（此時(shí)跟壓縮量最大時(shí)的勢(shì)能相等）……

3 速度相同時(shí)，小物體恰到達(dá)最高點(diǎn)的問(wèn)題

例4 質(zhì)量M=2kg的小車靜止在光滑水平面上，如圖2所示。車上AB段長(zhǎng)l=1m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.3，BC部分是半徑R=0.9m光滑的1/4圓弧形軌道。今有質(zhì)量m=1kg的金屬滑塊以水平速度v0=5m/s沖上小車，試求金屬滑塊能上升的最大高度。



解析 金屬滑塊以初速v0沖上小車，在AB段由于受到摩擦力作用，滑塊做勻減速運(yùn)動(dòng)，小車做勻加速直線運(yùn)動(dòng)。可以算出滑塊到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度仍大于小車的速度，所以，它繼續(xù)沿圓弧向上運(yùn)動(dòng)（繼續(xù)減速），小車?yán)^續(xù)做加速運(yùn)動(dòng)。如兩者的速度能達(dá)到相同，這時(shí)對(duì)應(yīng)特征是：滑塊沿弧到達(dá)最大高度（之后滑塊將沿弧向下滑動(dòng)）。

滑塊和小車組成的系統(tǒng)在水平方向所受合外力一直為零，動(dòng)量守恒，因此有：

mv0=(M+m)v①

由能量守恒得：

12mv20=12（M+m）v2+μmgl+mgH②

聯(lián)立①②兩式代入值得：H=815mH<0.9m，所以滑塊沒(méi)有到達(dá)車上沿就與車速度相同了。因此H=815m即為滑塊能上升的最大高度。

還有一些特殊問(wèn)題，比如兩小車上分別放有線圈和磁鐵，當(dāng)兩車速度相同時(shí)，車上線圈中感應(yīng)電流為零、相互作用力消失的問(wèn)題。

例5 如圖3所示，小車甲上固定一條形磁鐵，總質(zhì)量為m1=5kg，開(kāi)始時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)。小車乙上固定一閉合的螺線管，其總質(zhì)量m2=5kg。小車乙以6m/s的初速度向甲車運(yùn)動(dòng)。若磁鐵和螺線管等高正對(duì)，不計(jì)摩擦，求（1）甲、乙兩車相距最近時(shí)的速度分別為多大？（2）在兩小車作用的過(guò)程中，螺線管內(nèi)最多可產(chǎn)生多少熱量？

解析 當(dāng)乙車向甲車靠近時(shí)，由于穿過(guò)閉合螺線管的磁通量增加，在線圈內(nèi)產(chǎn)生感應(yīng)電流（由楞次定律判定電流方向，如圖所示）。感應(yīng)電流的磁場(chǎng)跟原磁場(chǎng)相互排斥，因此，甲車由靜止開(kāi)始做加速運(yùn)動(dòng)，乙車做減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v乙>v甲時(shí)，兩車相距越來(lái)越近。當(dāng)兩車速度相同時(shí)，對(duì)應(yīng)的物理特征是：①兩車相距最近；②穿過(guò)螺線管內(nèi)的磁通量最大（磁能量變化率為零），線圈內(nèi)感應(yīng)電流為零，兩車的相互作用力消失。這一過(guò)程中減少的機(jī)械能全部轉(zhuǎn)化成了熱能。之后，兩小車以相同速度向左勻速運(yùn)動(dòng)。

對(duì)整個(gè)系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得：

m2v0=(m1+m2)v

由能量守恒得：

12m2v20=12(m1+m2)v2+Q熱

代入值得：v=3m/s，Q熱=45J

綜上可知，兩物體速度相同是很重要的臨界條件，只要抓住這一條件下它們的物理特征，有關(guān)問(wèn)題就會(huì)迅速獲解。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。