交流電的“四值”歸納及其應用舉例
2008-12-31 00:00:00卞志榮
物理教學探討 2008年10期
交流電在工農業生產及人類生活中有著廣泛的應用。學好交流電知識顯得很有必要，而弄清交流電“四值”即瞬時值、最大值、有效值和平均值的區別和聯系及其應用是本章重點之一，現歸納整理如下，供大家參考。
1 “四值”概念歸納
瞬時值：交流電的瞬時值反映的是不同時刻交流電的大小和方向。瞬時值是時間函數，不同時刻，瞬時值不同。要注意①寫瞬時表達式時，線圈轉動從什么位置開始計時；②瞬時值與線圈在磁場中的位置對應關系；③牢記線圈在中性面和與磁感線平行這兩個特殊位置時，e或i、Φ、ΔΦ/Δt以及方向的改變。
最大值：交流電的最大值反映的是交流電大小的變化范圍，當線圈平面與磁感線平行時，交流電動勢最大，Em=NBSω，瞬時值與最大值的關系是：-Em≤e≤Em。要注意：①Em=NBSω中匝數不要忘了。②Em在何時或線圈在何位置取得。
有效值：交流電的有效值是根據電流的熱效應規定，即在同一時間內，跟某一交流電能使同一電阻產生相等熱量的直流電的數值，叫做該交流電的有效值。對于正弦交流電，有效值等于最大值除以2。要注意①理解有效值的定義方法——熱效應，它是計算其他類型交變電流有效值的唯一方法；②2的關系只適用于正弦交流電，且在零到最大或最大到零的1/4周期內就成立；③各種使用交流電的電器設備上所標注的、交流電表所測得的以及我們在敘述中所有特別加以說明的交流電的值，都是指有效值。
平均值：交流電的平均值是交流電圖像中波形與橫軸（t軸）所圍的面積跟時間的比值，其數值可以用E=nΔΦ/Δt計算。某段時間內的交流電的平均值不等于這段時間始、末時刻瞬時值的算術平均值。對正弦交流電來說，在T/4時間內，=2πEm。
2 “四值”應用注意事項
（1）解交流電變化規律類問題，要抓住表征交流電特征性質的幾個物理量，即周期（頻率）、角速度、有效值、最大值。常常需要寫出交流電的表達式。
（2）在具體計算外力做功、電路中的電功率或產生的熱量以及確定保險絲的熔斷電流時，應該用交流電的有效值；在計算通過導體橫截面積的電量時要用交流電的平均值；求發電機線圈在勻強磁場中所受最大磁力矩和考慮電容器的耐壓值時要用最大值；在求氖管發光、粒子通過交變電場時一般用交流電的瞬時值。
2 “四值”應用典型例題
例1 （2001年上海高考題）如圖1（a）所示，圓形線圈P靜止在水平桌面上，其正上方懸掛一相同的線圈Q、P和Q共軸，Q中通有變化電流，電流隨時間變化的規律如圖1（b）所示，P所受的重力為G，桌面對P的支持力為FN，則（ ）
A. t1時刻FN＞G
B.t2時刻FN＞G
C.t3時刻FN＜G
D.t4時刻FN=G
解析 t1、t3時刻，P中有感應電流產生；特別要注意t3時刻雖然P中有感應電流產生，但此時Q中的電流為零，兩線圈間同相無相互作用。答案：AD。
例2 有一正弦交流電源，電壓有效值U=120V，頻率f=50Hz，向一霓虹燈供電。若霓虹燈的激發電壓和熄滅電壓均為U0=602V，試估算在一個小時內，霓虹燈發光的時間有多長？為什么人眼不能感覺這種忽明忽暗的現象？
解析 由正弦交流電的最大值與有效值U的關系得Um=1202V
設t=0時，交流電的瞬時電壓值u=0，則交流電的表達式為：
u=Umsin2πft=1202sin100πt①
如圖2所示，畫出一個周期內交流電的u-t圖像，其中陰影部分對應的時間t1表示霓虹燈不能發光的時間，根據對稱性一個周期內霓虹燈不能發光的時間為4t1，因此不妨先求t1，當u=U0=602V時，由①式求得t1=1/600s，再由對稱性求得一個周期內能發光的時間：
Δt=T-4t1=1/50-4/600=1/75s，再由比例關系求得一個小時內霓虹燈發光的時間為2400s。
很明顯，霓虹燈在工作過程中是忽亮忽暗的，而熄滅的時間最長只有1/300s（如圖從t2時刻到t3時刻），由于人的眼睛具有視覺暫留現象，而這個視覺暫留現象的時間約為1/16s，遠大于1/300s，因此經過燈光刺激的人眼不會因為短暫的熄滅而有所感覺。
點評 本題為聯系實際題，與數學的巧妙結合及視覺暫留現象的考查新穎獨到，計算時要理解正弦交流電的瞬時值方程描述了正弦交流電的變化規律。有時須直觀形象地畫出交流電的圖像，再根據圖像清晰地分析物理圖景，使問題更易理解。這種做法常給解題帶來方便。
例3 在真空中速度為v=1.0×108m/s的電子束連續地射入兩水平放置的平行極板之間，極板長度為L=210m，間距為d=5.0×10-3m。兩極板不帶電時，電子束將沿兩極板之間的中線通過。加在兩板間電壓u隨時間t變化的u-t圖線如圖3所示。設兩板間電場可看作是均勻的，且兩板外無電場。如果所加電壓的最大值U0超過某一值Uc時，將開始出現以下現象：電子束有
時能通過兩極板，有時間不能通過。
（1）求Uc的大小；
（2）求U0為何值時，才能通過的時間（Δt）通跟間斷的時間（Δt）斷之比為2∶1。
解析 （1）電子通過平行極板所需時間t=L/v=0.121.0×108=2×10-9s，而電壓變化的周期T=10-2s，可見tT。因此，電子通過平行極板時，極板間的電壓和場強可看作是恒定不變的。電子進入平行極板中間后，其運動沿水平方向為勻速運動，沿豎直方向為勻加速運動。
設電子束剛好不能通過平行極板的電壓為Uc，電子經過平行極板的時間為t，所受的電場為
F=eUcd
則由d2=12at2
=12×Fm×t2
=eUct22dm
得：Uc=md2et2
=71V
（2）因為（Δt）通=2（Δt）斷，所以
U0=32Uc
=106.5V
點評 此題是93年高考題中所加正弦交變壓改成了“鋸齒”形電壓，其解題思想不變。每個電子通過電場時可看作恒定場強，這是科學近似法的應用。算出剛好通過電場臨界電壓，代入瞬時表達式可求出最大值U0，這是常用的解題方法——臨界值法。
例4 若交變電壓u=200sin100πtV能加在電容為10μF的電容器上，則電容器的耐壓值不得小于多少伏？
解析 電容器的耐壓值指電容器所能承受的最大電壓，而交變電壓u=200sin100πtV可能出現的最大瞬時值為200V，電容器要正常工作，耐壓值就不能小于這個值200V。
例5 如圖4甲為電熱毯的電路圖。電熱絲接在u=311sin100πtV的電源上，電熱毯熱到一定溫度后，通過裝置P使輸入電壓變為圖乙所示波形，從而進入保溫狀態，若電熱絲電阻保持不變，此時交流電壓表的讀數是多少？
解析 加圖乙電壓時，電熱絲在一個周期T=2×10-2s內產生的熱量為Q交=（Um/2）2/R·T/2；若給電熱絲加直流電壓U則T時間內產生的熱量Q直=U2/R·T；由Q交=Q直，得U=156V。故電壓表的讀數為156V。
點評 此題情景新穎靈活。這是一道聯系生活題，把有效值的問題放到一個實際電路中，而且電熱毯保溫狀態所加電壓已不是正弦交流電，有效值必須根據定義進行求解。
例6 單匝矩形線框abcd如圖5所示，其中ab=L1，bc=L2，線框電阻為r，ad間接電阻R，并串入電流表，線框以ad邊為軸在磁感強度為B的勻強磁場中勻速轉動角速度為ω，求：
（1）從中性面開始計時，線圈中感應電動勢的瞬時表達式。
（2）此時交流電流表A的示數。
（3）從圖示位置轉過90°角過程中，通過電流表的總電荷量。
（4）從圖示位置轉過90°角過程中，電阻R上產生的熱量。
（5）線圈轉動過程中受到的最大磁力矩。
點評 這是一道包括交流電“四值”應用的綜合題，把它們歸納在一起進行練習，有助于弄清它們的區別。限于篇幅，解題過程省略，答案為
注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。
