兩塊平面鏡成像知多少

在光學競賽題中，經常涉及到兩塊平面鏡成一定角度放置時的成像問題。下面就這個問題由特殊到一般來進行探究。

題1 兩平面鏡平行地豎直放置，中間放一物體S，求物體經兩平面鏡成像的個數并作出在兩平面鏡間看見的最近的四個像的位置。

解析 由于從S上發出的光可以在平面鏡間多次反射，故有一次反射成像、二次反射成像，直至n次反射成像。如圖1所示，圖中S1S2分別是S經鏡A和鏡B一次反射形成的像，S′1S′2分別是S經鏡A和鏡B二次反射形成的像，也就是分別以S1和S2為物點經鏡B和鏡A反射后形成的像，以此類推，還有三次、四次……因此，在兩平行的平面鏡間的物體S經鏡反射可成無數個像。作圖如圖1所示。

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題2 兩塊平面鏡M和N相互垂直放置，一物點S位于兩鏡之間。求S經平面鏡能成多少個像?作出光路圖。

解析 如右圖，S發出的光射到鏡M上，一次反射成像S1，然后再經平面鏡N二次反射成像S3；由于此時S3位于二塊平面鏡的后面，無法再成像了；同理，S發出的光射到平面鏡N上一次反射成像S2，然后再經平面鏡N二次反射成像S4， 由于此時S4位于二塊平面鏡的后面，無法再成像；且根據對稱性，S3與S4重合.故一共只能成3個像。

題3 兩塊平面鏡成α角放置(α能被180°整除) 一物點S位于兩鏡之間。求S經平面鏡能成多少個像?

解析 要使物體經第一個平面鏡成的像能通過第二個平面鏡斷續成像，第一個像必須在第2個平面鏡的前面，且第二個平面鏡必須處在第一個平面鏡成的像的可見區域中，使物射向第一個鏡的光線的反射光線能射向第二個平面鏡并再次反射成像。

設兩塊平面鏡成α角，設∠SON=θ， ∠SOM=β， 則α=β+θ，不妨先考慮S在鏡N中成像后再成像的情況。S在鏡N中的像為S′，由于S′在平面鏡OM前，且OM在的S′可見區域，所以能經平面鏡OM成像S″。由圖中幾何關系可得， ∠S″ON=∠S″OS′－∠S′ON=2∠S′OM－θ=2(α+θ) －θ=2α+θ。

同理S″還能再經鏡面ON成像S，且∠SOM=3α+θ，分析知每經過一次反射成像O與像的連線與下一個成像的鏡面的夾角增加α，如此連續下去，直至nα+θ≥180°。所以成像個數為n=180°-θα。

再考慮S在鏡M中成像后再成像的情況。如前所述，成像個數為m=180°-βα。則成像總個數為

x=n+m=180°-θα+180°-βα=360°-(θ+β)α=360°-αα=360°α-1。

當180°α=k(k=1，2，3，…)時，經OM和ON最后成的像是重合的。