碰撞中的動量、能量

在碰撞現象中，相互作用時間很短，相互作用力先急劇增大，然后急劇減小，平均作用力很大。在相互碰撞的系統中，外力通常遠小于碰撞物體之間的內力，可以忽略不計，碰撞過程中動量守恒。在相互碰撞的系統中，動能不會增加。

1 碰撞的動量、動能規律

質量分別為m1、m2的兩物體在水平面上發生碰撞，碰撞前動量分別為p10、p20，碰撞后動量分別為p1、p2。

在兩物體的碰撞前后動量、動能滿足以下關系p1+p2=p10+p20

p212m21+p222m22≤p2102m21+p2202m22

2 碰撞的分類

①按碰撞前后速度方向與質心連線關系分

正碰，質心連線與碰撞前后速度方向在一條直線上。高中物理一般都將物體看作質點，碰撞都為正碰。不要認為正碰就是彈性碰撞。

斜碰，碰撞前后速度方向與質心連線不在一條直線上。

②按碰撞前后動能變化情況分

彈性碰撞，碰撞前后系統總動能不變；非彈性碰撞，碰撞后系統總動能小于碰撞前系統總動能，碰撞中有動能轉化為其他形式的能，其中完全非彈性碰撞碰撞后兩物體達到共同速度，動能損失最大。

3 典型問題

問題1 質量分別為m1、m2的兩物體在水平面上發生彈性正碰，碰撞前的速度分別為v10、v20，碰撞后的度分別為v1、v2。

有人認為，m1碰撞前后速度和等于m2碰撞前后速度和，你認為對嗎?

分析 兩物體發生彈性正碰，碰撞前后動量守恒，兩物體總動能碰撞前后不變，可得

m1v1+m2v2=m1v10+m2v20①

12m1v21+12m2v22=12m1v210+12m2v220②

由①式得m1（v1－v10）= m2（v2－v20） ③

由②式得

12m1（v12－v102）=12m1（v22－v202）④

③÷④得 v1+ v10= v2+ v20⑤

即m1碰撞前后速度和等于m2碰撞前后速度和。

上述問題中如果m1= m2可得到什么結論？

將①、⑤聯立求解得 

v1=(m1-m2)v10+2m2v20m1+m2

v2=(m2-m1)v20+2m1v10m1+m2

由m1= m2得 v1= v20 v2= v10

即質量相等兩物體發生彈性碰撞交換速度。

問題1中兩物體發生彈性正碰，碰撞前后動量守恒，兩物體總動能碰撞前后不變，而有些碰撞問題中動能是不確定的。

問題2 甲乙兩球在光滑水平軌道上同向運動，已知它們的動量分別為p甲=5kg#8226;m/s，p乙=7kg#8226;m/s，甲從后面追上乙并發生正碰，碰后乙球的動量變為p乙′=10kg#8226;m/s，則兩球質量間的關系可能是( )

A.m甲=m乙 B.2m甲=m乙

C.4m甲=m乙 D.6m甲=m乙

分析 兩球正碰動量守恒

p甲′+p乙′=p甲+p乙 得p甲′=2kg#8226;m/s

碰撞前后動能關系

p2甲2m甲+p2乙2m乙≥p′2甲2m乙+p′2乙2m乙 ⑥

得m乙≥ 177m甲

碰撞后乙球速度不可能小于甲球速度

p′甲m甲≤p′乙p乙 ⑦ 得m乙≤5m甲

綜合上述得177m甲≤ m乙≤5m甲 故C正確。

問題3 質量分別為MA=2m、MB =4m的兩滑塊中間用輕彈簧連接，在光滑水平面上處于靜止狀態，有一質量為m、速度為v0的子彈水平向右飛過來擊中滑塊A并留在其中。

⑴子彈擊中滑塊A后彈簧的最大彈性勢能為多大？

解 子彈擊中滑塊A后和A一起作減速運動，B作加速運動，達到共同速度v時彈簧壓縮最短，彈簧的彈性勢能最大，則 mv0=（m+2m+4m）v動能減少都轉化為彈性勢能 EPm= 12mv20- 12（m+2m+4m）v2

解得：EPm=3mv20/7

上述解答對嗎？如不對寫出正確解答。

⑵在以后的運動中B獲得的最大速度是多少？

⑶子彈和A一起速度有可能向左嗎？如果可能求出向左的最大速度。



解析 ⑴上述解答中忽視了子彈擊中滑塊A過程可以看作完全非彈性碰撞，有動能轉化為熱量，因而計算結果大于子彈擊中滑塊A后彈簧的最大彈性勢能。正確的解答為：

子彈擊中滑塊A動量守恒

mv0 =（m+2m）vA，得vA=v03 

子彈和A一起作減速運動，B作加速運動，達到共同速度v時彈簧壓縮最短，彈簧的彈性勢能最大

（m+2m）vA=（m+2m+4m）v，得v=v07 

動能減少都轉化為彈性勢能

EPm=12 （m+2m）v2A -12 （m+2m+4m）v2 =221 mv20

（2）彈簧壓縮最短后B作加速運動，A和子彈共同體作減速運動，直到彈簧恢復原長。接著彈簧會被拉伸，B作減速運動，A和子彈共同體加速向右。因而彈簧恢復原長時，B的速度最大，A速度可能已向左。

子彈和A一起作減速運動到彈簧恢復原長時動量守恒

（m+2m）vA =（m+2m）vA′ +4mvBm

上述過程彈簧前后兩狀態均為原長，動能相等

12 （m+2m）v2A =12（m+2m）v′2A+12 (4m)v2Bm

解得：vA =-121v0 vBm=27v0

（2）在以后的運動中B獲得的最大速度是27v0。

⑶ vA′=-121v0 負號說明 A 后來出現速度向左，最大值為121v0。



拓展 B靜止，A以某初速度通過彈簧與B作用

a、mA＞mB 時 A 不可能出現速度反向；

b、mA=mB時 彈簧再次恢復原長B的速度為A的初速度，即為問題1中的交換速度；

c、mA＜mB時彈簧再次恢復原長B的速度最大，A出現問題3中的速度反向。