運(yùn)用等效法巧解帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

等效法是把復(fù)雜的物理現(xiàn)象、物理過(guò)程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的物理現(xiàn)象、物理過(guò)程來(lái)研究和處理的一種科學(xué)思想方法。它是物理學(xué)研究的一種重要方法。在中學(xué)物理中，合力與分力、合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)、總電阻與分電阻、平均值、有效值等，都是根據(jù)等效概念引入的。常見的等效法有“分解”、“合成”、等效類比、等效替換、等效變換、等效簡(jiǎn)化等，從而化繁為簡(jiǎn)、化難為易。勻強(qiáng)電場(chǎng)有許多性質(zhì)與重力場(chǎng)非常相似，所以在有些電場(chǎng)問(wèn)題解題的過(guò)程中，可以將電場(chǎng)與重力場(chǎng)加以比較，將勻強(qiáng)電場(chǎng)等效類比為重力場(chǎng)中熟悉的模型問(wèn)題。按照重力場(chǎng)中物體的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)去研究問(wèn)題，可以使學(xué)生對(duì)物理問(wèn)題的分析和解答變得簡(jiǎn)捷，而且對(duì)靈活運(yùn)用知識(shí)，促使知識(shí)、技能和能力的遷移，都會(huì)有很大的幫助。筆者整理了帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一部分熟悉的模型的問(wèn)題，應(yīng)用等效法來(lái)解決。

1 “最低點(diǎn)”類問(wèn)題

例1 如圖1所示，ab是半徑為R的圓的一條直徑，該圓處于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，勻強(qiáng)電場(chǎng)與圓周在同一平面內(nèi)。現(xiàn)在該平面內(nèi)，將一帶正電的粒子從a點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出，拋出方向不同時(shí)，粒子會(huì)經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn)，在這些所有的點(diǎn)中，到達(dá)c點(diǎn)時(shí)粒子的動(dòng)能最大。已知∠cab=30°，若不計(jì)重力和空氣阻力，試求：電場(chǎng)方向與ac間的夾角θ。



運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 小球只受恒定電場(chǎng)力作用下的運(yùn)動(dòng)

對(duì)應(yīng)聯(lián)想 重力場(chǎng)中存在的類似的問(wèn)題，如圖2所示，在豎直平面內(nèi)，從圓周的d點(diǎn)以相同的動(dòng)能拋出小球，拋出方向不同時(shí)，小球會(huì)經(jīng)過(guò)圓周上不同的點(diǎn)，在這些所有的點(diǎn)中，可知到達(dá)圓周最低點(diǎn)e時(shí)小球的動(dòng)能最大，且“最低點(diǎn)”e的特點(diǎn)：重力方向上過(guò)圓心的直徑上的點(diǎn)。

等效分析 重力場(chǎng)的問(wèn)題中，存在一個(gè)“最低點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的速度最大。同理恒定電場(chǎng)中也是對(duì)應(yīng)的“最低點(diǎn)”時(shí)速度最大，且“最低點(diǎn)”就是c點(diǎn)。

規(guī)律應(yīng)用 電場(chǎng)力方向即為如圖3所示過(guò)圓心作一條過(guò)c點(diǎn)的直徑方向，由于粒子帶正電，電場(chǎng)方向應(yīng)為斜向上，可得θ=30°。

2 單擺類問(wèn)題

例2 如圖4所示，一條長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線上端固定在Ｏ點(diǎn)，下端系一個(gè)質(zhì)量為m的小球，將它置于一個(gè)很大的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度為Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ點(diǎn)時(shí)平衡，細(xì)線與豎直線的夾角為α。求：當(dāng)懸線與豎直線的夾角為多大時(shí)，才能使小球由靜止釋放后，細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球速度恰好為零？



運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 小球在受重力、電場(chǎng)力兩個(gè)恒力與不做功的細(xì)線拉力作用下的運(yùn)動(dòng)。

對(duì)應(yīng)聯(lián)想 在重力場(chǎng)只受重力與細(xì)線拉力作用下的運(yùn)動(dòng)的模型：?jiǎn)螖[模型。

等效分析 對(duì)小球在B點(diǎn)時(shí)所受恒力分析（如圖5），將重力與電場(chǎng)力等效為一個(gè)恒力，將其稱為等效重力可得：mg′=mgcosα，小球就做只受“重力”mg′與繩拉力運(yùn)動(dòng)，可等效為單擺運(yùn)動(dòng)。

規(guī)律應(yīng)用 如圖6所示，根據(jù)單擺對(duì)稱運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得，B點(diǎn)為振動(dòng)的平衡位置，豎直位置對(duì)應(yīng)小球速度為零是最大位移處，另一最大位移在小球釋放位置，根據(jù)振動(dòng)對(duì)稱性即可得出，當(dāng)懸線與豎直線的夾角滿足β=2α，小球從這一位置靜止釋放后至細(xì)線到豎直位置時(shí)，小球速度恰好為零。

3 過(guò)山車類問(wèn)題

例3 如圖7所示，絕緣光滑軌道AB部分為傾角為30°的斜面，AC部分為豎直平面上半徑為R的圓軌道，斜面與圓軌道相切。整個(gè)裝置處于場(chǎng)強(qiáng)為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中。現(xiàn)有一質(zhì)量為m的帶正電，電量為q=3mg3E小球，要使小球能安全通過(guò)圓軌道，在O點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？

運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 小球先在斜面上運(yùn)動(dòng)，受重力、電場(chǎng)力、支持力，然后在圓軌道上運(yùn)動(dòng)，受到重力、電場(chǎng)力，軌道作用力，且要求能安全通過(guò)圓軌道。

對(duì)應(yīng)聯(lián)想 在重力場(chǎng)中，小球先在水平面上運(yùn)動(dòng)，重力不作功，后在圓軌道上運(yùn)動(dòng)的模型：過(guò)山車。

等效分析 如圖8所示，對(duì)小球受電場(chǎng)力和重力，將電場(chǎng)力與重力合成視為等效重力mg′，大小mg′=(qE)2+(mg)2=23mg3，tanθ=qEmg=33 ，得θ=30°，于是等效重力方向?yàn)榇怪毙泵嫦蛳拢玫叫∏蛟谛泵嫔线\(yùn)動(dòng)，等效重力不做功，小球運(yùn)動(dòng)可類比為重力場(chǎng)中過(guò)山車模型。

規(guī)律應(yīng)用 分析重力中過(guò)山車運(yùn)動(dòng)，要過(guò)圓軌道存在一個(gè)最高點(diǎn)，在最高點(diǎn)滿足重力當(dāng)好提供向心力，只要過(guò)最高點(diǎn)就能安全通過(guò)圓軌道。如果將斜面順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°，就成了如圖9所示的過(guò)山車模型，最高點(diǎn)應(yīng)為等效重力方向上直徑對(duì)應(yīng)的點(diǎn)B，則B點(diǎn)應(yīng)滿足“重力”當(dāng)好提供向心力即： mg′=mv2BR

假設(shè)以最小初速度v0運(yùn)動(dòng)，小球在斜面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入圓軌道后只有重力等效做功，則根據(jù)動(dòng)能定理： 

-mg′2R=12mv2B-12mv20

解得：v0=103gR3

4 斜拋類問(wèn)題

例4 如圖10所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)水平向右，E=103N/C，一帶正電的油滴的質(zhì)量m=2.0×10-5kg，電量q=2.0×10-5C。在A點(diǎn)時(shí)速度大小為v=20m/s，方向?yàn)樨Q直向上，則油滴在何時(shí)速度最小且求出最小速度？



運(yùn)動(dòng)特點(diǎn) 小球具有一定初速度，在運(yùn)動(dòng)只受重力、電場(chǎng)力兩個(gè)恒力的曲線運(yùn)動(dòng)。

對(duì)應(yīng)聯(lián)想 在重力場(chǎng)中物體只受重力，具有初速度的運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)有平拋、斜拋。

等效分析 如圖11所示仍把重力與電場(chǎng)力等效成一個(gè)重力，mg′=(qE)2+(mg)2=2mg，等效重力加速度g′=2g，等效重力與初速度不垂直，于是可等效為重力場(chǎng)中斜拋運(yùn)動(dòng)。

規(guī)律應(yīng)用 研究斜拋運(yùn)動(dòng)方法是建立水平、豎直坐標(biāo)，即沿重力方向與垂直方向的坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)分解速度，運(yùn)動(dòng)可等效為水平勻速速度，豎直先勻減速運(yùn)動(dòng)后勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)豎直方向速度為零時(shí)速度最小。如果整個(gè)模型面順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)60°就成如圖12所示的重力場(chǎng)中斜拋模型。建立坐標(biāo)，同時(shí)對(duì)應(yīng)分解初速度。則油滴的運(yùn)動(dòng)可等效為x方向勻速運(yùn)動(dòng)，y方向先做勻減速運(yùn)動(dòng)后勻加速的運(yùn)動(dòng)。

分析可得，當(dāng)y方向速度為零，油滴的速度最小為

vmin=vx=v0cos30°=103m/s

對(duì)應(yīng)時(shí)間為：t=vyg′=v0sin30°2g=0.5s由以上四例可見，由于恒定電場(chǎng)與重力場(chǎng)在性質(zhì)上相似，運(yùn)用等效法將電場(chǎng)、重力場(chǎng)等效為重力場(chǎng)，聯(lián)想重力場(chǎng)中熟悉的模型，運(yùn)用對(duì)應(yīng)的規(guī)律，使電場(chǎng)問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。合理運(yùn)用等效法解題，能將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化難為易，這不僅能提高學(xué)生的解題速度，而且還有助于學(xué)生理解能力、應(yīng)變能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。但要注意“等效”并非指事物的各個(gè)方面效果都相同，而是強(qiáng)調(diào)某一方面的效果。因此一定要明確不同事物在什么條件、什么范圍、什么方面等效。通常可以考慮對(duì)下列因素進(jìn)行等效替代：研究對(duì)象、物理模型、物理狀態(tài)、物理過(guò)程、物理作用等。這里只介紹了物理模型等效替代，且局限于帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。