中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的線性回歸數(shù)據(jù)處理方法

物理實(shí)驗(yàn)中，不僅要用合理的實(shí)驗(yàn)方法測(cè)得所需要的數(shù)據(jù)，還要有合適的方法來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，才能得到正確地結(jié)論。

在中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)量的方法多種多樣，實(shí)驗(yàn)方法也是面面俱到，但是恰恰在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理方法上顯得過(guò)于單薄了。或許是考慮到中學(xué)生有限的數(shù)學(xué)知識(shí)，所以教科書(shū)中僅列出了平均值法，逐差法和作圖法等有限的幾種。這些方法都有各自的局限性：平均值法簡(jiǎn)單易行，但精度不夠高；逐差法能有效利用所有測(cè)得的數(shù)據(jù)，但應(yīng)用范圍小；畫(huà)圖法直觀簡(jiǎn)單，但只能給出大致范圍，不能定量處理。

為解決在物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中所遇到的以上問(wèn)題，本文介紹一種符合高中學(xué)生思維水平，又有較強(qiáng)通用性和較高準(zhǔn)確度的數(shù)據(jù)處理方法：即線性回歸方法。

1 線性回歸法

線性回歸在高中數(shù)學(xué)課本中已有介紹。它可以用來(lái)處理線性相關(guān)的多組二元數(shù)據(jù)的問(wèn)題。其推導(dǎo)方法雖較為繁復(fù)，但是均在中學(xué)生的知識(shí)范圍以?xún)?nèi)。學(xué)生若覺(jué)得推導(dǎo)有困難，也可以只套用結(jié)論來(lái)處理問(wèn)題。現(xiàn)在將推導(dǎo)過(guò)程陳述如下：

設(shè)現(xiàn)在有n組二元數(shù)據(jù)，編號(hào)為（x1，y1），(x2，y2)……(xn，yn)。

定義r=∑ni=1xiyi-n x y(∑ni=1X2I-n 2)(∑ni=1y2i-n 2)

為相關(guān)系數(shù)。當(dāng)｜r｜接近1，則可認(rèn)為該組數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)性。｜r｜越接近1，則相關(guān)性越高。

對(duì)于線性相關(guān)的數(shù)據(jù)，可以用一個(gè)一次函數(shù)來(lái)近似描述其關(guān)系，這個(gè)函數(shù)即被稱(chēng)作回歸直線方程。不妨設(shè)該函數(shù)為y⌒=bx+a。求回歸直線即是求出方程中的未知系數(shù)b和a。

定義回歸直線是這樣的直線：該直線使得該組數(shù)據(jù)所代表的各點(diǎn)與該直線的偏差的平方和最小，即使得Q=∑ni=1(yi-y⌒)2=∑ni=1(yi-bxi-a)2最小。

以上推導(dǎo)和最后表達(dá)式均較為復(fù)雜，但在科學(xué)計(jì)算器上已有相應(yīng)功能。下面以CASIO fx-82TL為例，說(shuō)明一下如何使用計(jì)算器進(jìn)行回歸計(jì)算。

2 用計(jì)算器進(jìn)行回歸計(jì)算

打開(kāi)計(jì)算器后，點(diǎn)擊MODE進(jìn)入模式選擇。選擇3 REG，即進(jìn)入回歸計(jì)算模式。再選擇1 LIN，即進(jìn)入線性回歸計(jì)算。

這種線性回歸數(shù)據(jù)處理方法可以在很大程度上取代平均值法、逐差法和作圖法，并能取得更高的準(zhǔn)確度。現(xiàn)僅舉一例如下：

實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)：用單擺測(cè)重力加速度。

該實(shí)驗(yàn)是利用測(cè)算單擺周期來(lái)求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取?shí)驗(yàn)裝置如圖1所示。

設(shè)單擺周期為T(mén)，擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間。由理論推導(dǎo)可知，單擺周期T=2πLg，所以g=4π2LT2。

實(shí)驗(yàn)步驟：

(1)固定好實(shí)驗(yàn)裝置。用米尺測(cè)量繩長(zhǎng)l，用游標(biāo)卡尺測(cè)量小球直徑D。擺長(zhǎng)L =l+D/2。

(2)將小球拉開(kāi)一個(gè)角度（<5度），放手后使其穩(wěn)定擺動(dòng)。當(dāng)小球經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)。共計(jì)30個(gè)周期，即小球60次通過(guò)最低點(diǎn)，測(cè)得總時(shí)間為t。平均周期T=t/30。

(3)將測(cè)得數(shù)據(jù)填入表1。

(4)改變擺長(zhǎng)，重復(fù)1至3步。

表1中的數(shù)據(jù)是實(shí)驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)。由平均值法所得的重力加速度g=9.76。

若采用線性回歸。函數(shù)式：L=g/4π2*T2。L和T2成線性關(guān)系，可以使用線性回歸。利用計(jì)算器可知b=0.245。其中b=g/4π2，由此可得g=9.74，更符合本地的標(biāo)準(zhǔn)重力加速度。

從以上的例子可知，線性回歸在處理多組數(shù)據(jù)有其獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。雖然這種方法的最后表達(dá)式比較復(fù)雜，難以筆算，但是在計(jì)算器日益普及的今天，這種有更高精確度和科學(xué)性的方法應(yīng)該在高中實(shí)驗(yàn)教學(xué)中大力推廣，以彌補(bǔ)這方面的不足。

(欄目編輯王柏廬)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。