灰色系統理論在產品失效時間預測中的應用

[摘要] 運用灰色系統理論，對產品失效時間建立GM(1，1)預測模型，并進行了預測，由計算結果表明該預測模型具有較好的預測精度。

[關鍵詞] 失效時間 灰色系統 預測 GM(1，1)模型 精度

一、問題的提出

本文研究如何建立灰色預測模型，將華中科技大學鄧聚龍教授的灰色系統理論巧妙地應用于產品失效時間的預測上，一般假定從一批產品中隨機抽取n個產品進行壽命實驗，對失效時間和失效個數都不作規定，得到前幾個產品的失效時間數據后，看能否應用這些數據來預測其它樣品的失效時間，以便達到采用比較少的經濟投入，而獲得比較滿意的效果，本課題的研究方法簡單，易于掌握，便于推廣，通過實踐來證明是一種行之有效的方法。本課題通過詳盡的分析，發現灰色預測在工程控制，經濟管理，未來學研究，社會系統，生態系統及復雜的農業系統都得以廣泛應用，能取得明顯的效益，預測結果精度高，可靠性大。

二、模型建立

1.利用模型，對產品失效時間進行預測。模型，簡言之為以下三大步驟:（1）數據處理：n個產品的失效時間按由小到大的順序排列的序列為:，稱為原始序列。將原始數據適當處理，令，得到:，稱為累加序列。

（2）建立模型：模型為單一序列的一階線性動態模型。對建立微分方程:。這是一階一個變量的微分方程模型，記參數列為，按最小二乘法求

，微分方程的解為為模型計算值，是原始序列模型計算值。

（3）將實際數據代入運算，利用2.2提供的后驗差檢驗法進行檢驗，檢驗后驗差比值和小誤差概率，判定模型精度。

2.2后驗差檢驗方法的主要計算公式如下:（1)殘差: 。—給出的原始數據，—通過預測模型得到的預測值。原始數據均值:。原始數據方差:。殘差均值:。殘差方差:。小誤差概率。后驗差比值。

（2）后驗差檢驗模型精度的等級劃分:后驗差檢驗指標為2個：小誤差概率P及后驗差比值C。對于小誤差概率，若P＞0.95， 模型精度為一級，若0.80＜P≤0.95， 模型精度為二級，若0.70＜P≤0.80， 模型精度為三級，若0.60＜P≤0.70， 模型精度為四級；s1、s2稱為均方差，均方差比值，若C＜0.35，模型精度為一級，若0.35≤C＜0.50， 模型精度為二級，若0.50≤C＜0.65， 模型精度為三級，若0.65≤C＜0.80， 模型精度為四級。

3、典型例題

已知某種電子產品的壽命服從指數分布，從中隨機抽出16個進行壽命試驗，得到前7個產品的失效時間為：188、362、610、800、840、1110、1434，試預測第8、9、10、11個產品的壽命。

解：利用提供的數據進行GM(1，1)模型的擬合過程，首先計算，填入表1，利用公式，求得，其中

，經過計算得:，預測模型為：

從而。根據擬合模型可以計算出擬合值，見表1。

精度檢驗：計算得:，判斷模型精度為一級，說明預測模型是可信的，完全可用于外推預測。根據預測模型對 第8、9、10、11個產品的失效時間進行預測，結果填入表2：

從實例看，這種預測模型，具有相當高的精度，當n越大，給出的信息越多，預測的準確度越高。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。