淺談中學數學中的數形結合

在中學數學中，代數主要研究“數”的問題，而幾何中則主要學習“形”的知識。但“數”與“形”并不是彼此獨立，而是相互依存、密切聯系的。它們在一定條件下可以相互轉化。若能將兩者完美地結合起來，取長補短，則往往會收到意想不到的效果。

一、 絕對值問題

二、 最值問題

求函數的最大值與最小值問題是中學數學的重要課題，這類問題通常稱為最值問題。最值問題涉及面較廣泛，遍及代數、幾何、三角各科之中，在生產實踐中也有廣泛應用。求最值問題的方法也很多，而數形結合的方法是其中常用方法之一。請看這樣一個例子：

例2 已知2x+5y≥11，5x+4y≥19，且x≥0，y≥0。求使7x+6y取得最小值的x，y和最小值。

解析 對于這類條件最值問題，直接代入不易求解。從解析幾何知識可知，滿足2x+5y≥11的點在直線L1：2x+5y=11上和它的右上方，如圖2。同理滿足5x+4y≥19的點在直線L2：5x+4y=19上和它的右上方。加上x≥0，y≥0，滿足這四個條件的點，在如圖的陰影部分內。其中P點坐標就是方程組：

2x+5y=11，5x+4y=19的解x=3，y=1。

然后我們研究方程7x+6y=a。

對于不同的a，它表示一組互相平行的直線。本題就是要求這些平行線中與陰影部分有公共點，并且使a最小的一條。從圖中可看出過P點的直線L：7x+6y=27滿足。因為如果a＜27，雖有最小值，但不是公共點。這樣，我們找到本題的答案：x=3，y=1，最小值是27。

三、 三角問題

三角是中學數學中的一個重要部分。三角知識在函數、幾何等方面有著廣泛應用，是解決數學問題的強有力的工具。因此，許多三角問題都可能轉化為幾何問題，通過相應的幾何圖形加以解決。

如果題中出現cos2α+cos2β+cos2γ=1之類的式子，則可設想向量的方向角，或考慮構造一個長方體（其對角線與過一個頂點的三鄰邊所成的角正好滿足上述關系），這往往是一種行之有效的方法。

例3 已知三銳角α，β，γ滿足cos2α+cos2β+cos2γ=1。

這里通過構造一個適合題設條件的長方體，將一個抽象的三角不等式的證明，轉化為一個較易證明的代數不等式，而數形結合在這里起到了橋梁作用。

從上面幾個例子可以看出，一些三角和代數的問題，如果運用了數與形相結合的觀點去考慮，就能容易地找到解決問題的方法，解題過程也比較簡單。而且通過直觀的幾何圖形，對問題的內在聯系可以有更深一步的了解。

上面幾例主要是利用“形”來解決有關數的問題。下面再舉一個例子說明利用數解決形的問題。

例4 在直徑為AB的半圓O上取一點C，引CD⊥AB交AB于D，分半圓為兩部分。另作圓O′內切于右邊部分，E為圓O′與AB的切點。

求證：BC=BE。

分析 此題用幾何方法比較難證，我們利用解析法來證。

證明 取O為原點，BA為x軸，設大圓半徑為R，小圓半徑為r，則大圓方程是x2+y2=R2，B點坐標是（-R，0），設C

以上的例子充分說明，雖然代數、幾何、三角這三門學科各有其特點和思考問題的方法，但是完全有可能也完全有必要把這三門學科的知識聯系起來，也就是把數和形的問題結合起來。