概率難點分析

概率一直是近幾年高考熱點，由于沒有排列組合知識作為基礎(chǔ)，學生學習起來有一定困難，下面就概率幾個方面的問題作一下分析：

難點一 古典概型中基本事件的等可能性問題

對于古典概型來說，關(guān)鍵點就是要求基本事件的等可能性，如果沒有理解透徹就可能會發(fā)生錯誤。

例1 拋擲兩枚相同的硬幣，求同時向上的概率。

分析 拋擲硬幣的基本事件數(shù)應(yīng)該有四種，即：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），本題的錯誤認識是認為基本事件數(shù)只有三種，即兩個正、兩個反、一正一反，因為這三個基本事件不是等可能的。

解 由于基本事件數(shù)有四種，其中所求的事件是基本事件數(shù)中的（正，正）一個，所以概率P（A）=。

難點二 逐個抽取與一次性抽取樣本問題

在逐個抽取與一次性抽取樣本過程中，要注意基本事件數(shù)的變化。

例2 某種飲料每箱6聽，如果其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機抽取2聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？

分析 本題有兩種思考方法：

（1）如果是一次性抽取兩聽飲料，用樹型圖分析共有15個基本事件，而且是等可能的。

（2）不放回逐個抽取，則共有30個基本事件，而且是等可能的，要特別注意樣本空間的變化。

注：雖然抽取方法不一樣，但它們發(fā)生的概率相同。

難點三 放回抽樣與不放回抽樣問題

對于這個問題，也是由于抽取方法不同，使樣本空間發(fā)生了變化，但是對于事件出現(xiàn)的概率沒有影響。

例3 一個口袋里共有大小一樣的2個紅球和8個黃球，從中隨機地接連抽取3個球，每次取1個，求在（1）不返回抽樣；（2）返回抽樣中，第三次是紅球的概率。

注：從本例看出，無論是返回抽樣，還是不返回抽樣，第三次抽到紅球的概率只與紅球占的比例有關(guān)，與第幾次抽到紅球無關(guān)。

難點四 幾何概型基本事件的確定

幾何概型的基本特點：（1）基本事件有無限多個。（2）基本事件發(fā)生是等可能的。知識難點是確定試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）。

解習題時應(yīng)注意選擇適當?shù)挠^察角度，應(yīng)遵循這樣的步驟：

例4 取長為3 m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1 m的概率為多少？

分析 本題中剪斷位置可以是長度3 m繩子的任意一點，只涉及到一個變量，所以基本事件的區(qū)域為長度。

例5 （2007年寧夏卷）設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是從區(qū)間[0，3]任取一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取一個數(shù)，求上述方程有實根的概率。

分析 本題中涉及a，b兩個變量，所以基本的區(qū)域可以用面積來界定。

解 （如圖2）由題意知全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為：

｛（a，b）｜0≤a≤3，0≤b≤2｝，

構(gòu)成事件A的區(qū)域為：

｛（a，b）｜0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b｝，