《線性代數》教學的一些思考

[摘要]《線性代數》是工科高校中頗為重要的一門課，也是較抽象難學的一門課程。本文從理論與實踐兩方面以作者的體會與認識，提出《線性代數》教學抽象概念的講解應注意的幾點問題，闡釋了如何進行《線性代數》課程的課堂教學，并且能收到良好的教學效果。

[關鍵詞]線性代數 數學概念 教學方法

《線性代數》是高等院校理、工類專業重要的數學基礎課。它不但廣泛應用于概率統計、微分方程、控制理論等數學分支，而且其知識已滲透到自然科學的其它學科，如工程技術、經濟與社會科學等領域。不僅如此，這門課程對提高學生的數學素養、訓練與提高學生的抽象思維能力與邏輯推理能力都有重要作用。但由于“線性代數”本身的特點，對其內容學生感到比較抽象，要深入理解與掌握代數的基本概念與基本理論學生感到相當吃力、難以理解。因此，為培養與提高學生應用數學知識、解決實際問題的能力，進一步研究這門課程的教學思想和方法對提高教學效果甚為重要。

一、加強基本概念的教與學

線性代數這一抽象的數學理論和方法體系是由一系列基本概念構成的。行列式、矩陣、逆矩陣、初等矩陣、轉置、線性表示、線性相關、特征值與特征向量等抽象概念根植于客觀的現實世界，有著深刻的實際背景，即是比較直接抽象的產物。高等數學與初等數學在含義與思維模式上的變化必然會在教學中有所反映。線性代數作為中學代數的繼續與提高，與其有著很大不同，這不僅表現在內容上，更重要的是表現在研究的觀點和方法上。在研究過程中一再體現由具體事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具體事物去的辨證觀點和嚴格的邏輯推理。新生剛進入大學，其思維方式很難從初等數學的那種直觀、簡潔的方法上升到線性代數抽象復雜的方式，故思維方式在短期內很難達到線性代數的要求。大部分同學習慣于傳統的公式，用公式套題，不習慣于理解定理的實質，用一些已知的定理、性質及結論來推理、解題等。

在概念的教學中，教師要研究概念的認識過程的特點和規律性，根據學生的認識能力發展的規律來選擇適當的教學方式。因此，在概念教學中應注意以下幾點。

1.合理借助概念的直觀性

盡管抽象性是《線性代數》這門課的突出特點，直觀性教學同樣可應用到這門課的教學上，且在教學中占有重要地位。歐拉認為：“數學這門科學，需要觀察，也需要實驗，模型和圖形的廣泛應用就是這樣的例子。”直觀有助于概念的引入和形成。如介紹向量的概念，盡管抽象，但它具有幾何直觀背景，在二維空間、三維空間中，向量都是有向線段，由此教學中可從向量的幾何定義出發講解抽象到現有形式的過程，降低學生抽象思考的難度。

2.充分利用概念的實際背景和學生的經驗

教師在教學中應充分利用學生已有的數學現實和生活經驗，引導和啟發學生進行概念發現和創造。如在講解n階行列式，首先從學生已掌握的二元、三元一次方程組的求解入手，然后求出方程組的解由二階、三階行列式表示，分析二階、三階行列式的特點。

二階行列式，不難看出：它含有兩項，若不考慮符號，每項均是來自不同行不同列的兩個元素的乘積，那么會提出這樣的問題：右邊各項之前所帶的正負號有什么規律？同樣的，三階行列式若不考慮符號，它含有3！=6項，每項也是來自不同行不同列的三個元素的乘積，并且包含了所有由不同行不同列的三個元素的組合。為解決n階行列式，又引出排列的概念、性質，介紹奇偶排列后，又回到我們提出的問題上，可以發現，行標按自然排列，列標排列為奇排列時，該項為負；列標排列為偶排列時，該項為正（問題得到解決）。經過這一過程，學生對n階行列式已有接觸和了解，此時可給出n階行列式定義，這樣一來，學生就容易理解和掌握n階行列式的性質了。

3.注意概念體系的建立

R.斯根普指出：“個別的概念一定要融入與其它概念合成的概念結構中才有效用。”數學中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯系既能促進新概念的引入，也有助于接近已學過概念的本質及整個概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關和線性無關也有一定的聯系。

二、學生要掌握科學的學習方法

學習重在理解，學生必須在理解、領悟其深刻含義的基礎上記憶定義、定理及一些結論，才能收到理想的效果。線性代數的最大特點就是：知識體系是一環扣一環，環環相連的。前面的知識是后面學習的基礎，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無關組，進一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標準型等。因此，學習線性代數，一定要堅持溫故而知新的學習方法，及時復習鞏固，為此，教師課前的知識回顧以及學生提前預習是十分必要的。

三、加強對學生解題的基本訓練

一定量的典型練習題能有助于學生深化對所學知識的理解，培養學生一題多解的能力，解題后反思，及時總結解題思路和方法。如證明抽象矩陣的可逆，就有很多方法，一是用定義。二是用秩的有關命題。三是借助于特征值理論。四是證明矩陣的行列式不為零等。

四、培養與激發學生的學習興趣

興趣是最好的老師。教師一方面在傳授知識，另一方面要鼓勵學生有針對性的設計他們的目標，這樣，他們才肯自覺鉆研，樂于鉆研。同時，課堂教學中可選擇近年來研究生入學考題及一些與實際聯系較緊的題目講解或練習，以激發學生的學習欲望，并給他們帶來成功的滿足。此外，還可以適當介紹一些有趣的應用典范或教學史來激發學生的學習熱情，提高他們的學習興趣。

五、發揮多媒體優勢，增強教學效果

多媒體教學成為當前高校教學模式的重要手段。教師只有把傳統教學手段、教師自己的特色和多媒體輔助教學三者有機結合起來，才能真正發揮多媒體課堂教學的效果。總之，教師在教學中所做的一切，其目的應在于既教會他們有用的知識，又教會學生有益的思考方式及良好的思維習慣。

參考文獻：

[1]張向陽．線性代數教學中的幾點體會．山西財經大學學報(高等教育版)，2006.

[2]于朝霞．線性代數與空間解析幾何．北京：中國科學技術出版社，2003.

（作者單位：山東濟南大學理學院)