數學悖論價值淺析

摘要：悖論是一個涉及數學、哲學、邏輯學等學科的非常廣泛的論題。而其中的數學悖論對數學的發展更是有著重要的影響。本文闡述了數學悖論產生的原因、歷史及現狀，并分別探討了數學悖論在基礎數學研究中的價值以及它在數學教學中的教育價值，從另一個角度發掘數學悖論的價值所在。

關鍵詞：悖論；數學悖論；認識論；基礎研究

悖論，早在古代哲學史中就作為一個引人矚目的語言現象和邏輯現象而存在。但在相當長的一段時間內，未能引起哲學家和數學家們的足夠重視，因為人們通常認為悖論不過是巧妙編制的謬論，直到1901年，著名的哲學家、數學家羅素在集合論中發現震動性的羅素悖論，才使大家轉變了對悖論的認識?；仡欁匀豢茖W的發展史，曾出現過大量的悖論，引起了一次又一次科學理論的危機，給一些人帶來了煩惱和失望。然而正是這些悖論的出現和消除，極大地促進了自然科學的發展，標志著科學的真正進步。本文以數學悖論為研究重點，對悖論的發展及其意義提出粗淺的看法。

一、 悖論與數學悖論

“悖論”一詞來自希臘文，是超出、違反、對抗之意和料想之意的合稱。籠統地講，悖論是邏輯學的名詞，是指一種導致矛盾的推理過程。中國大百科全書哲學卷曾這樣定義悖論：指由肯定它真，就推出它假，由肯定它假，就推出它真的一類命題。這類命題也可以表述為：一個命題A ，若肯定A ，就推出非A ；反之，若肯定非A，又可以推出A。

悖論與通常的詭辯或謬論的含義是不同的，詭辯、謬論不僅從公認的理論上看是錯誤的，而且通過已有的理論、邏輯可以論證其錯誤的原因，而對于悖論雖然感到不妥當，但從它所在的理論體系內，卻不能闡明其錯誤的原因，可見悖論對于它所在的歷史階段與科學理論體系而言是解釋不了的矛盾。

數學悖論是指一切與人的知覺和日常經驗相矛盾的數學結論。數學悖論有三種主要形式：(1)一種論斷看起來好像肯定錯了，但實際上卻是對的；(2)一種論斷看起來好像肯定正確，但實際上卻是錯了；(3)一系列推理看起來幾乎無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。

數學悖論是數學分支趣味數學的一個組成部分，有些數學理論起源于數學悖論，如：歐拉的拓撲學，馮·紐曼的博弈論等，可以說數學悖論是新數學理論的一塊滋生地。此外，趣味數學同樣具有重要的教育價值，在課堂教學中，適當、恰當地向學生介紹一些數學悖論，可以激發學生對數學的興趣；豐富課堂教學活動；讓學生洞悉解題過程；提高學生對現代數學多樣性的鑒賞力。

數學發展從來不是直線式的，也并不總是和諧的，而是常常出現悖論，但正是這些重要悖論的產生，為未來的發展提供了契機，進而艱難的悖論總是以熠熠生輝的方式使之得到美妙的結論。但悖論在數學中也出現了一種嚴重的問題，所造成的事實是對數學基礎的懷疑及對數學可靠性的動搖，甚至導致“數學危機”。因此，數學悖論的產生使人們更加自覺地認識到其在數學發展中的重要性。

二、 數學悖論在基礎數學研究中的價值

縱觀數學基礎研究的歷史，悖倫的發現與解決，無疑是起到了強有力的杠桿作用。

公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了等腰直角三角形的直角邊與斜邊是不可通約的，這一發現被看做是一種悖論，導致了數學史上的第一次危機。這一悖論的解決以確定了無理數的合法席位而告終，并導致了公理幾何學與邏輯學這一對雙胞胎的誕生。

自17世紀下半葉微積分誕生以來，在數學界出現的混亂局面被稱為數學史上的第二次危機。無窮小量到底是什么？ 主觀唯心論哲學家貝克萊大主教攻擊無窮小量是“已死量的幽靈”“變化率只不是消失了量的鬼魂”，被稱為貝克萊悖論。19世紀初，柯西詳細而系統地發展了極限理論，用“以零為極限的變量”來解決萊布尼茲的“無窮小”。隨后狄德金、康托、外爾斯特拉斯等人相繼建立了嚴整的實數理論，使微積分有了牢固的基礎，結束了300年的混亂局面。

數學的第三次危機是集合論中悖論的出現及其引起的爭論局面。1902年著名的邏輯學家、數學家羅素提出的悖論引起了整個數學界的震驚，激起了數學研究者們的熱情。羅素悖論提出：集合可分為兩類，一類是集合A是它本身的元素，即A ∈A ，稱為本身分子集；另一類是非本身分子集，問：一切非本身分子集全體構成的集合是哪一種集合。由于羅素悖論僅涉及集合論最基本的概念：元素、屬于、集合，而且極其簡單明了，這不能不引起數學界的極大震驚。數學家們經過仔細研究，發現羅素悖論來源于“集合”這個概念自身的描述定義上，于是為解決危機而改造集合論的方案相繼被提出，類型論、多值邏輯、公理集合論等等，推動了數學基礎學科的蓬勃發展。1908年德國數學家策梅羅追索到問題主要出現在概括原則所肯定的那種造集的任意性上，因此，策梅羅首先構造公理系統，在保留概括原則之中“合理因素”的前提下，對造集的任意性加以限制，又經另一位數學家弗朗克在1922年的補充完善，形成了稱為ZC公理系統的集合論公理系統，后又加上選擇公理，構成了著名的集合論ZFC公理系統。在這個系統中把已經出現的邏輯、數學悖論予以排除，而且一直發展到今天尚未出現其他矛盾。遺憾的是ZFC系統本身的無矛盾性至今尚未解決，不能保證在該系統中不出現新的悖論。

由于悖論和相容性等問題的激發，從19世紀末到20世紀前30年間逐漸形成了關于數學基礎主要思想的三大派別：邏輯主義、直覺主義和形式主義，他們之間的激烈爭論，標志著對數學基礎問題更深入、更本質的考查。

以英國數學家羅素和懷特海德為代表的邏輯主義認為數學來源于邏輯，并成為邏輯的延伸和拓展，在他們的思想中認為邏輯方法就保證了數學的協調性而不需要數學所有的公理。其主要代表羅素的分支類型論在數理邏輯發展史上具有重大意義。

以荷蘭數學家布勞爾為代表的直覺主義又稱為構造主義，他們認為數學思想是一個構造過程，不依賴于經驗世界，也不需要模型。唯一的限制就是以基本的數學直覺為基礎，所以數學觀念在語言、邏輯和經驗主義以前，是直覺決定著正確和可接受性。他們在數學上的出發點是自然數論，其構造性理論在數學上取得了很大的成就。

以德國數學家希爾伯特為代表的形式主義認為，必須把數學和邏輯同時處理，在數學的每一個領域應借助于邏輯概念及數學概念和原理獲得一種公理基礎。他們證明了算術的協調性，導致了元數學既證明論的產生。

被譽為開辟了數理邏輯新紀元的哥德爾不完備性定理的誕生也與悖論有著密切的關系。哥德爾在從事不完備性定理的研究過程中，研究了“扯荒者悖論”和“理查德悖論”，深受啟發，他改造了扯荒者悖論，利用了與理查德悖論相似的方法，十分巧妙地構造了一個不可判定命題，這個不可判定的命題類似悖論，但又避免了悖論。

綜上所述，我們能看到每一個悖論的出現，都為數學基礎問題提出了新的研究方向，而每一次人們對悖論的研究都會使數學發展進入一個嶄新的階段，使數學的基礎不斷的得到鞏固和完善。

三、 數學悖論在數學教學中的教育價值

傳統的數學教學理論一般都認為，數學教學應該盡可能地避免出現差異或者謬誤，尤其是要避免出現悖論，因此，在這種“正確的”教學理論指導下的教學實踐就是“正確的”的“數學結論”（包括事實、命題、法則、規律、推理和證明等）的展示、表演與習得、操練與熟悉。但是，即使是算術的教學，在這種教學理論的指導下，大多數學生最多也只能獲得一些“死的”概念、符號和計算程序，而無法獲得真正的“數感”(number sense)。

正因為如此，我們提出并初步探討了數學課堂教學中的“本原性問題”的理論與實踐，以期望我們的學生在數學學習中不僅獲得一些“固定的”結論和程序，也獲得數學的實質和創造。

數學發展史上的諸多悖論，如果能夠結合學校數學課程，并加以“合理的”處理，它們就可以成為數學課堂教學中的“本原性問題”；與此同時，在數學課堂教學實踐中也涌現出許許多多的“原發性的”數學(悖論)，它們也是“數學本原性問題”，所有這些“悖論”，如果能夠適當地加以運用和捕捉，都會其到意想不到的教育教學效果。

1. 數學發展史中的悖論及其對數學教育的意義。數學發展史上有名的“悖論”可能是以下三個：不可通約量（即無理數）的發現，無窮小量(即極限概念)的運用和集合悖論的發現(比如，羅素悖論)。它們不僅推動著數學的發展，而且也影響并激勵著其他人類文化(尤其是哲學和人工智能)的發展和進步。數學悖論“特別是對中學生和大學生學好數學、邏輯學、物理學和語言學是有很大幫助的。他們可以從古今的數學思想中、經驗中獲得激勵自己的意志，啟迪自己的智慧。”但是，這里我們并不想就這三大數學發展史上的悖論進行詳細的論述以說明“數學悖論”的教育意義，而是分析數學發展史上一些“微不足道”的悖論來展示其數學教育教學意義。

(1)由2+2=5“”可以推出“羅素是教皇”。這其實是羅素回應把“實質蘊涵”斥之為奇談怪論的那些人的一個“中規中矩”的“由假命題可以推出任何命題”的例證[正因為如此，(數學)證明只有以真命題為前提才可能是有效的，否則就會出現有意義而無效的證明]：2+2=5→2+2-1=5-1→3=4→3-1=4-1→2=3→2-1=3-2→1=2→2=1。眾所周知，教皇和羅素是兩個人，因為2=1，所以教皇和羅素的一個人，也就是說：羅素就是教皇。由此可見，在邏輯的意義上，推理和證明是有區別的(盡管我們通常不做這種區分)：證明是前提為真的推理，而推理一般不要求前提必須為真——它是由若干命題運用“有效的推理形式”而導出(其他)若干命題的邏輯思維過程。但是，并不是每一個通過數學(教育)而發展其邏輯思維能力的人都通曉甚至知曉這一點。

(2)滿頭黑發其實和禿子一樣沒有頭發。大家都知道，禿子頭上多加一根頭發，他還是禿子；同樣的道理滿頭黑發的人頭上少一根頭發，其實仍然是滿頭黑發——這是毫無疑問的。但是，如果我們把這個過程或推理一直進行下去(其實不需要“一直下去”，只需要“足夠多次”就可以了)就會發現：禿子和滿頭黑發的人的頭發是一樣多的，沒有什么差別！這顯然與我們的日常經驗相矛盾。為什么會這樣呢？其實這是對“(數學)歸納法”的誤用，(現在，你真的知道了嗎？)同時也說明：對于禿與不禿，我們沒有一個明確的定義，甚至也不可能會有一個明確的界定——模糊數學研究的對象！

其實，在數學發展史上，人們經常把這類“問題”歸結為“概率問題”或“統計問題”，所以才造成了諸如此類的“悖論”——確定性數學、統計數學和模糊數學可謂現代數學的三大“分支”。

(3)伽利略的難題。伽利略在研究算術時發現，自然數和偶數之間可以建立一一對應的關系，所以自然數和偶數應該一樣多，但是，明明自然數比偶數多(而且還多很多很多，以至無窮多)：一個無限集合怎么和它的一個真子集之間進行對應元素的配對呢？——這就是伽利略的難題！這其實已經涉及到“有限數學”和“無限數學”的區別，但是，伽利略那個時代，人們對此還沒有“清醒”認識。

這類數學發展史上的“微不足道”的悖論還有很多很多．如果我們能夠很好地加以改造并加以運用于數學的課堂教學當中，那么將會極大地提升學生們對數學(學習)的興趣甚至自信，并促進其對數學實質的追求與理解。

2. 數學教學中的“悖論”及其教育價值。下面是我們在教學中所遭遇或發現或涉及到的數學(學習)悖論，就這些悖論與學生們一起討論和交流有助于他們對數學實質的理解與欣賞。

(1)運用無意義詞組或概念所造成的悖論?！傲愠匀魏螖刀嫉昧恪边@一判斷或命題經常出現在學習算術的學生的檢測題的判斷中，其“標準答案或參考答案”多為“不正確”或“是錯的”(因為零不能作除數)。但是，如果我們稍做一些分析就會發現：“不正確”或“是錯的”這一“標準答案或參考答案”預設了詞組“零除以任何數”應該有明確的“算術”含義——既然“零不能作除數”，那么，“零除以任何數”要有意義，其作為除數的“任何數”就不能是零！否則，“零除以任何數”在“任何數”為零的前提下就沒有“算術意義”，因而也就無所謂“對錯”或者“正確與錯誤”之別。這猶如對于無神論者而言，問其“上帝是否萬能？”是沒有意義的一樣，因為“上帝”對于無神論者來說是不存在的，(在真假的意義上)也是無意義的。

(2)不同算法中所蘊涵的“悖論”。24÷2÷5=？就是這么個簡單的算術問題，我們在教學中發現學生們至少有以下兩種算法：①24÷2÷5=（24÷2）÷5=12÷5=2余2；②24÷2÷5=24÷2（×5）=24÷10=2余4。結果學生們發現：“答案不一樣！”于是就提出了問題：“哪一個對哪一個錯呢？”從某種程度上講，這樣的提問方式表明，同學們還沒有領會“帶余除法的實質”。我們進一步也會發現：應用題情景中學生們更傾向于運用第二種算法，而在“純算術形式”下則更可能按照“從左到右的順序”來計算。與此同時，我們也會發現：當老師們遇到這類“悖論”時，多采取“漠視”的態度或“敷衍”的方式來處理，這顯然不利于學生們對“數學實質”的理解，于是就更談不上對“數學實質”的追求與欣賞了。其實，就是這類看似簡單但其教育教學意義重大的數學學習“悖論”，如果能被我們的老師們及時抓住，并加以引導、對話、交流和討論，將會對學生產生終身的益處或“長效”。

(3)數學歸納法的不當使用所引起的“麻煩”。我們可以證明“所有金發的女孩都是藍眼睛”。因為“如果任何n個女孩之中，至少有一個是藍眼睛時，那么這n個女孩便都是藍眼睛的”。下面我們就用數學歸納法來證明這個命題。

證①n=1時，命題顯然成立(可以驗證)。②假設n=k時，命題成立，即“如果這k個金發女孩之中，至少有一個是藍眼睛時，那么這k個女孩便都是藍眼睛的”成立。則n=k+1時，我們要證明的是：“如果(k+1)個金發女孩之中，至少有一個是藍眼睛時，那么這(k+1)個女孩便都是藍眼睛的”。

為此，我們不妨假設這(k+1)個金發女孩分別為：G₁，G₂…，G_k，G_k+1，且G₁為藍眼睛，那么根據歸納假設，我們有G₁，G₂…，G_k都是藍眼睛的，同理，G₁，…，G_k-1，G_k+1也都是藍眼睛的。即G₁，G₂，…，G_k，G_k+1這(k+1)個金發女孩都是藍眼睛的。

故此，由①，②可知：命題得證。問題在于這個結論顯而易見地與我們的生活經驗粗矛盾。那么，這個證明過程有什么問題？如果有問題，那問題又出在哪呢？關于這個“悖論”的解答我們不打算給出，但是，如果你能夠自己分析出這個“悖論”產生的原因，那么，你對“數學歸納法”的理解將會“更上一層樓” ！

無論是數學發展史中的“原初”悖論(相對于整個人類而言)，還是數學教學中的“原發”悖論(相對于師生的課堂教學活動而言)，其教育意義或價值至少有以下幾點：(1)激發學生對數學的學習或研究興趣；(2)促使學生更好地了解某種重要的學習思想；(3)開發豐富多彩的數學學習活動；(4)幫助學生洞察數學問題(包括悖論)的解決過程；(5)提升學生對現代數學所具有的美妙、多樣，甚至幽默性質的鑒賞力。

參考文獻：

[1]李思一，白葆林.從驚訝到思考——數學悖論奇[M].北京:科學技術 文獻出版社，1986.

[2]徐文彬.課堂教學中的本原性問題及其教育價值[J].當代教育科 學，2004(19).

[3]躍春.認知悖論及其邏輯問題[J].學術界，2002(5).

(鹽城師范學院數學科學學院)