從項數入手因式分解

因式分解是一種重要的恒等變形，指的是把一個多項式化成幾個整式的積的形式，學習了多項式的兩種因式分解的方法后，在實際操作中，我們應從多項式的項數入手選擇適當的方法創造條件因式分解.

一、兩項式的因式分解

兩項式的因式分解，首先考慮提取公因式法，然后看它能否變形成a²-b²的形式，若能，就利用公式a²-b²=(a+b)(a-b)將其因式分解.

例1（2008年威海市中考題）分解因式4m³n-16mn³=_______.

分析：本題是兩項式的因式分解，這兩項有公因式4mn，把它提出來后，另一個因式正好是a²-b²的形式.

解：原式=4mn(m²-4n²)=4mn(m+2n)(m-2n).

例2（2007年杭州市中考題）因式分解(x-1)-9的結果是（）.

A. (x+8)(x+1)B. (x+2)(x-4)

C. (x-2)(x+4)D. (x-10)(x+8)

分析：把x-1當做一個整體，本題就是一個兩項式，且這兩項式可變形成a²-b²的形式.

解：原式=(x-1)2-3²=［(x-1)+3］［(x-1)-3］=(x+2)(x-4).

二、三項式的因式分解

三項式的因式分解，首先考慮提取公因式法，然后看它能否變形成a²±2ab+b²的形式，若能，就利用公式a²±2ab+b²=(a±b)2將其因式分解；若不能，再看它是否是x²+(p+q)x+pq的形式，若是，就利用公式x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)將其因式分解.

例3（2008年哈爾濱市中考題）把多項式2mx²-4mxy+2my2分解因式的結果是_______.

分析：本題是三項式的因式分解，這三項有公因式2m，把它提出來后，另一個因式可變形成a²-2ab+b²的形式.

解：原式=2m(x²-2x+1)=2m(x-1)2.

例4（2008年濟南市中考題）因式分解x²+2x-3=.

分析：注意到-3=3×(-1)， 且3+（-1）=2，那么本題是一個可變形成x²+(p+q)x+pq的形式的三項式.

解：原式=x²+-［3+(-1)］x+3×(-1)=(x+3)(x-1).

三、四項式的因式分解

四項式的因式分解，一般要借助分組的手段，如果是二項二項分組，分組后必定有公因式可提取，使因式分解順利進行；如果是三項一項分組，分組后必定可利用完全平方公式和平方差公式，使因式分解順利進行.

例5（2008年中山市中考題）因式分解am+an+bm+bn=_______.

分析：本題是四項式的因式分解，前兩項有公因式a，后兩項有公因式b，將它們各分為一組，分別提取公因式a和b后，另一個因式正好都是m+n.

解：原式=(am+an)+(bm+bn)

=a(m+n)+b(m+n)

=(m+n)(a+b).

例6（2006年北京市中考題）分解因式a²-4a+4-b².

分析：前三項作為一組，它是一個完全平方公式，可分解為(a-2)2；把-b²當做另一組，那么結果為平方差形式的兩項式.

解：原式=（a²-4a+4）-b²

=(a-2)2-b²

=(a+b-2)(a-b-2).