聚焦方差或標準差的求值

方差和標準差都是用來衡量一組數據波動大小的特征量.其中，方差指的是各個數據與這些數據的平均數的差的平方的平均數， 標準差是方差的算術平方根. 若是x， x， …， x的平均數， s2是x， x， …， x的方差，那么

s2=［(x-)2+(x-)2+…+(x-)2］.

在學習中， 經常遇到方差或標準差的求值問題， 現以中考題為例介紹其解法， 供同學們參考.

例1(2008年茂名市)一組數據3、4、5、a、7的平均數是5， 則它的方差是（）.

A. 10B. 6C. 5D. 2

分析：先確定a的值，然后利用方差的計算公式計算方差.

解:依題意，得

5=(3+4+5+a+7).

解之， a=6.

所以s2=［(3-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(6-5)2+(7-5)2］=2， 應選D.

例2(2007年宿遷市)已知樣本x， x， …， x的方差是1， 那么樣本2x+3， 2x+3， …， 2x+3的方差是().

A. 1B. 2C. 3D. 4

分析: 為方便起見，設樣本x， x， …， x的平均數為， 那么樣本2x+3， 2x+3， …， 2x+3的平均數為2+3. 利用方差的計算公式， 由樣本x， x， …， x的方差，可以確定樣本2x+3， 2x+3，…，2x+3的方差.

解:設樣本x， x， …， x的平均數為， 那么樣本2x+3， 2x+3，…， 2x+3的平均數為2+3.

因為x， x， …， x的方差是1.

所以［(x-)2+(x-)2+…+(x-)2］=1.

所以(x-)2+(x-)+…+(x-)=10.

所以樣本2x+3， 2x+3 ，…， 2x+3的方差

s2=［(2x-2)2+(2x-2)2+…+(2x-2)2］

=［4(x-)2+4(x-)2+…+4(x-)2］

=［4×10］=4， 應選D.

例3(2007年德陽市)某學習小組5位同學參加初中畢業生實驗操作考試(滿分20分)的平均成績是16分， 其中三位男生的方差為6(分)，兩位女生的成績分別為17分、15分，則這個學習小組5位同學考試分數的標準差為().

A. B. 2C. D. 6

分析：5位同學實驗操作考試的平均成績已知，且兩位學生的考試成績也已知，要求這個學習小組5位同學考試分數的標準差，可以先求其方差. 為此， 應先要確定這個學習小組三位男生考試的成績分別是多少. 根據條件， 難以單獨地確定它們. 為了順利地解題， 可以先假定它們分別為x、x、x，從定義入手，看看這個學習小組5位同學考試分數的方差等于什么.

解：設三位男生考試的成績分別為x、x、x，那么

s2=［(x-16)2+(x-16)2+(x-16)2+(17-16)2+(15-16)2］

＝［(x-16)2+(x-16)2+(x-16)2+2］.

因為x、x、x、17、15的平均數為16，

所以x+x+x=16×5-(17+15)=48.

所以三位男生的平均成績為48÷3=16.

因為三位男生的方差為6，

所以6=［(x-16)2+(x2-16)2+(x3-16)2］

所以（x-16）2+(x-16)2+(x-16)2=18.

所以s2=［18+2］=4.

所以這個學習小組5位同學考試分數的標準差為2， 應選B.