Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ變換及其在圖像去噪中的應用研究
2009-01-01 00:00:00徐華楠劉哲胡鋼
計算機應用研究 2009年2期
(1.西北工業大學 理學院， 西安 710072；2.西安理工大學 理學院， 西安 710054)
摘 要：Contourlet變換是小波變換的新發展，具有多分辨、局部性和多方向性等優良特性，能更有效地捕捉圖像中的幾何結構。分析了Contourlet變換的原理和性質，重點探討了其在圖像去噪領域的應用及改進，最后給出了未來Contourlet變換值得研究的若干方向。
關鍵詞：Contourlet變換;圖像去噪;平移不變性
中圖分類號：TP317.4 文獻標志碼：A
文章編號：10013695(2009)02040105
Research on Contourlet transform and its application to image denoising
XU Huanan1，LIU Zhe1，HU Gang1，2
(1.School of Science， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China；2.School of Science， Xi’an University of Technology， Xi’an 710054， China)
Abstract:The Contourlet transform is a new development of wavelet transformation， with multiresolution， local and multidirection. It can be more effective in capturing geometric structure of images.Analysed the principle and characters of the Con-tourlet transform， focusing on its application to image denosing and its improvement.Finally，gave a few future research topics in details.
Key words:Contourlet transform; image denoising; translation invariance
0 引言
現實中的圖像在采集、轉換和傳輸中，常常受到成像設備與外部環境噪聲干擾等影響而產生降質，因此大多數的現實圖像都是含噪圖像。圖像噪聲對圖像分析、圖像壓縮等的影響很大，圖像降噪是圖像預處理階段最重要的任務之一。圖像去噪就是如何將噪聲與有用信息在某一個特定的空間內區分開。由于噪聲和圖像的細節信息都具有高頻特性，圖像去噪存在一個如何兼顧降低圖像噪聲和保留細節的難題。
近二十年來，小波變換以其良好的時頻特性被廣泛地應用于圖像、信號等信息處理領域，成為繼傅里葉分析之后的又一強有力的分析工具。對一維分段光滑信號，由于小波變換在某種意義上能為其提供最優表示，并且小波變換具有方便的樹狀分解快速算法，小波變換是最合適的工具。這些都是小波變換在信號處理中成功的原因。但自然圖像并不是一維信號的簡單堆砌，它的間斷點（如邊緣）是沿著曲線（如輪廓線）進行排列的。由一維小波變換張成的二維可分離小波變換(2D separable wavelet transform)能有效地捕獲這些不連續的間斷點，但是卻不能有效地表示出這些點之間的排列關系。二維圖像中的幾何結構是非常重要的特征，但是二維可分離小波變換只有水平、垂直和對角線有限的方向表示，不能很好地表示圖像中的方向信息。這些缺點表明小波變換不是最優的圖像稀疏表示法。
為了獲得高維函數的最優表示，眾多學者提出了多尺度幾何分析方法，目前主要有Candes[1]提出的脊波變換(Ridgelet transform)、單尺度脊波變換(monoscale Ridgelet transform)[2]，Candes等人[3]提出的Curvelet變換、Pennec等人[4]提出的Bandelet變換等。不同于其他方法，如Curvelet，先在連續域建立，然后對采樣數據離散化這種變換，2002年Do等人[5]提出了一種“真正”的二維圖像稀疏表示方法——Contourlet變換，它是在離散域構造的，然后推廣到連續域并在其中討論Contourlet的收斂性。
目前，Contourlet變換已經被應用于圖像的去噪、水印、特征提取、編碼、分割、檢索、融合、壓縮、增強等領域，而應用最多的是圖像去噪和水印。本文從Contourlet變換的原理、性質出發，以其在圖像去噪方面的應用為基礎，研究了它的缺陷及眾多學者對其的改進，最后提出了未來Contourlet變換若干值得研究的方向。
1 Contourlet變換原理
處理二維圖像時，通常使用可分離二維小波。它是兩個一維小波的張量積(tensor product)，其方向只有水平、垂直和對角三種。因此，用小波捕捉圖像邊緣時相當于用“點”表達“線”[6]，如圖1(a)所示。這種維度的差異嚴重影響了小波的逼近效率，導致小波在邊緣上浪費大量的系數。出現這種現象的根本原因在于小波基支撐區間方向性和各向異性的缺失。
Contourlet變換亦即塔形方向濾波器組(pyramidal direction filter bank，PDFB)是小波變換的一種新擴展，具有多尺度、局部性、多方向性、臨界采樣和各向異性等性質[6]。其基函數分布于多尺度、多方向上，且有靈活的縱橫比，因此Contourlet能夠以近似最優的效率表示任何一維的平滑邊緣。它能用比小波變換更少的系數來表達光滑的曲線，可以很好地逼近圖像的幾何結構[6]，如圖1(b)所示。
Contourlet變換的基本思想是首先用一個類似小波的多尺度分解捕捉邊緣奇異點，再根據方向信息將位置相近的奇異點匯集成輪廓段。主要由兩個步驟實現，即多尺度分解和方向濾波，如圖2[6]所示。
首先，用Burt等人[7]于1983年提出的拉普拉斯塔式濾波器結構(Laplacian pyramid，LP)對圖像進行多分辨率分解以捕捉奇異點，在分解的每一步利用二維低通濾波器和隔行隔列下抽樣(downsampling)技術產生一個低分辨率的圖像。該圖像代表原始圖像的低頻信息，對該圖像進行上抽樣(upsampling)后形成與原始圖像尺寸相同的低頻分量，原始圖像減去低頻分量得到一個高通圖像，高通圖像主要包含噪聲和邊緣變化信息。這樣的過程在低通圖像上反復進行，最終產生一個低通圖像和多級高通圖像序列。LP的缺點是隱含有過采樣。然而，相比臨界采樣小波方案，LP在每級分解只產生一個帶通圖像 (甚至在多維情況下)，并且這個圖像沒有擾頻現象(因為LP濾波器組僅對低通圖像進行了下采樣)。倘若利用正交濾波器組來實現LP分解，則能得到框架界為1的緊框架，這也是Contourlet變換中采用LP分解的原因之一。整個分解過程會產生最高1/3的冗余，在圖像去噪等應用中是可接受的。
其次，對高頻圖像應用迭代的二維方向濾波器組(directional filter banks， DFB)[8]來捕捉方向信息，將分布在同方向上的奇異點合成為一個系數。DFB是Bamgerger和Smith于1992年在最大抽樣條件下提出的可完全重構(perfect reconstruction，PR)的二維方向濾波器組，DFB濾波器組對圖像進行l級二叉樹狀結構分解，將頻域劃分為2l個楔形(wedge shape)子帶。在繼承DFB濾波器多方向分解理論的基礎上，Donoho提出了一種新的DFB構造方法，這種方法使用扇形結構的共軛鏡像濾波器組以避免對輸入信號的調制，同時將l層二叉樹狀結構的方向濾波器變成了2l個并行通道的結構。Contourlet變換的最終結果是用類似輪廓段(contour segment)的基結構來逼近原圖像。
從本質上講，DFB本身并不適用于處理圖像的低頻分量，僅適用于圖像的高頻分量，這是因為方向濾波器組可能將圖像的低頻分量泄露于幾個方向性子帶中。而且DFB本身并不能提供稀疏表示，應用之前需要將圖像的低頻部分移除，這促使多分辨率分解模塊LP與方向分解模塊DFB的結合。圖像每次經LP子帶分解產生的高通子帶輸入DFB后，逐漸將點奇異連成線性結構，從而能有效地捕獲圖像中的方向信息。LP分解和DFB都具有完全重構特性，由其組合而成的PDFB也能實現完全重構，而且PDFB與LP分解有相同的冗余度：4/3。
2 Contourlet變換的性質及缺陷
根據生理學家對人類視覺系統的研究結果和自然圖像統計模型，好的圖像表示方法應該具有以下五個特征[6]：
a)多尺度，能夠對圖像從粗尺度到細尺度進行連續逼近，即帶通性；
b)局域性，在空域和頻域，這種表示方法的基應該是局部的；
c)臨界采樣，要求表示方法的基所帶來的數據冗余要小；
d)方向性，基應該具有許多方向，隨著尺度加細方向應該增多；
e)各向異性，基的支撐區間應該隨方向的不同呈現出長寬比不同的長條狀。
二維可分離小波僅滿足上述性質中的前三個，后兩個尤其是各向異性完全不能滿足。而Contourlet變換則完全滿足上述五個性質。
Contourlet變換是LP分解與DFB結合而成的二層濾波器組結構，因此既有源于LP和DFB的性質，也有組合結構的特有性質，Contourlet變換的一些重要性質如下。
定理1[6，9] 在塔形方向濾波器組(PDFB)中，下列性質成立：
a)若LP和DFB都使用完全重構濾波器，則PDFB能夠完全重構原始圖像，即能提供一個框架；
b)若LP和DFB都用正交濾波器實現，則PDFB提供框架界為1的緊框架；
c)PDFB結構的冗余來源于LP且與LP的冗余度相同，上限為4/3；
d)若將LP第j層分解得到的高通子帶輸入lj級二叉樹DFB結構(j=1，2，…，J，其中j=1對應最小尺度)，得到的PDFB基圖像有基本的支撐大小，即寬約2j且長約2j+lj-2；
e)若采用有限沖激響應(FIR)濾波器，PDFB對N像素圖像的計算復雜度為O(N)。
Contourlet變換的目的是對包含曲線奇異的分片光滑圖像提供有效的稀疏表示。Donoho和Vetterli給出了如下條件以保證Contourlet表示的稀疏有效性[9，10]：
a)拋物線式尺度關系(parabolic scaling)。在曲波結構中，Candes和Donoho指出用曲波達到非線性逼近的關鍵是對widthlength2的曲線找到滿足拋物線式尺度關系的支撐空間[4]。拋物線式尺度關系的目的是通過沿著曲線放置矩形基元(類似于圖1(b))來高效地逼近光滑間斷曲線。在Contourlet變換中，要滿足拋物線式尺度關系，則在更細的尺度下方向數必須加倍。更準確地說，假設在尺度2j0以lj0階DFB開始，則在隨后更好的尺度2j(j＜j0)，DFB的分解層次數為
lj=lj0+(j0-j)/2」，對于j≤j0 (1)
b)方向消失矩(directional vanishing moment，DVM)。一維小波稀疏逼近分段光滑信號意味著只有較少的小波基函數在不連續點附近能發覺奇異性，相應系數的幅值較大。小波變換的關鍵在于設計頻率選擇性好的濾波器，這要求小波基有足夠的消失矩，即高通濾波器在ω=0處必須有足夠多的零點。消失矩是用小波獲得分段光滑信號稀疏展開的關鍵[11]。直觀地說，有消失矩的小波對多項式信號是正交的，并且僅由間斷點附近的幾個小波基函數能覺察到這些間斷點并獲得有效的系數[12]。在有光滑輪廓的分片光滑圖像中，奇異點同時在空間和方向具有局域性，稀疏表示要求只有位于曲線奇異點附近且方向與曲線方向一致的基能夠發覺奇異性，即在某方向上有足夠多的消失矩，稱為方向消失矩。Contourlet變換提供稀疏表示的條件之一是有足夠多的方向消失矩。
定理2[6] 假設有緊支撐的Contourlet變換滿足拋物線式尺度關系，其基函數有足夠多的方向消失矩，尺度函數是2階的，則Contourlet變換對含有C2奇異曲線的C2分片光滑圖像f的M階非線性逼近的滿足：
‖f-(Contourlet)M‖22≤C(log M)3M-2(2)
Contourlet變換的逼近誤差衰減率O(log M)3M-2與曲波的逼近率
O(log M)1/2M-2[9]是非常接近的，都遠遠優于小波變換的逼近程度O(M-1)，其根本原因在于這兩種變換均滿足各向異性關系，彌補了小波變換方向信息有限的缺陷。由于f的復雜度與一條C2間斷曲線的復雜度至少是相等的，其他的逼近策略都達不到M-2[13]。從這種角度來說，Contourlet變換就是含有C2曲線的分片光滑函數的最佳逼近。
Contourlet變換中的LP分解和DFB都有下采樣的操作，使得Contourlet變換不具有平移不變性，從而在進行圖像去噪時會引入視覺誤差，雖然能較好地保持圖像的邊緣信息，但圖像的主觀質量有所下降。
3 Contourlet變換在圖像去噪中的應用及其改進
3.1 基于Contourlet變換的圖像去噪
圖像去噪是圖像預處理階段最重要的任務之一，其作用是提高圖像的信噪比，突出圖像的期望特征。目前已被提出的圖像去噪方法主要可分為空域法和頻域法。
空域去噪法并不對圖像進行任何變換，而是通過一定算法直接修改圖像像素值以達到去噪的效果。例如鄰域平均（kNN）、中值濾波（median）、幾何濾波（geometric）、Sigma濾波、gradientinverse濾波等都屬于這一類方法；還有對Speckle統計基礎上的Lee濾波、Kuan濾波等。然而，對于處于圖像各邊緣和細節上的像素，這種基于滑動窗口的算法并不能正確地表示其灰度值，因而會使圖像變得模糊。滑動窗口越大，這一現象越明顯。
頻域法降噪則是利用噪聲和信號在頻域上分布的不同進行的。一幅含噪圖像經變換后，信號主要分布在低頻區域，而噪聲主要分布在高頻區域，同時圖像的細節也分布于高頻區域。傳統的低通濾波方法根據圖像噪聲頻率范圍，選取適當的低通濾波器進行濾波處理以濾除圖像的高頻，如采用理想低通濾波器、巴特沃斯低通濾波器等。此類方法雖然能夠達到降低噪聲的效果，但也破壞了圖像的細節，使圖像變得模糊。
近二十年來，隨著小波理論的日益完善，它以良好的時頻特性被越來越廣泛地應用于圖像、信號去噪領域并取得了巨大的成功。Contourlet變換作為小波變換的最新發展在應用于圖像去噪時，大部分方法都沿用了小波去噪的方法。閾值去噪是小波去噪中應用最廣泛的方法，目前基于Contourlet變換的圖像去噪方法也大都采用這一方法。
基于Contourlet變換的圖像降噪原理大致如下，對經Contourlet變換后的Contourlet系數進行分類：
其中：Cl，d(i， j)表示Contourlet變換系數；Th為事先設定的閾值。
第一類Contourlet變換系數主要由圖像包含的噪聲變換得來，具有幅值小、數目多的特點，降噪處理時通常舍棄；第二類Contourlet變換系數主要由圖像的二維奇異特征構成，具有幅值大、個數少的特點，降噪處理時通常采取保留或修正的策略。根據閾值處理的不同可分為兩種處理方式：
a)硬閾值方式
其中：(i， j)表示降噪處理后的Contourlet變換系數；sgn(#8226;)為取符號操作。
Bruce[14]分析了軟閾值和硬閾值方法在高斯噪聲條件下的偏差、方差，并得出以下結論：
a）給定閾值Th，軟閾值總比硬閾值造成的方差小；
b）當系數充分大時，軟閾值比硬閾值造成的偏差大；
c）當系數在Th附近時，硬閾值方法有較大方差與偏差。
總的來說，硬閾值方法可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會出現振鈴、偽吉布斯效應等視覺失真；而軟閾值處理方法相對平滑，但可能造成邊緣模糊等失真現象。
LI Beibei等人[15]通過加權的方法將軟、硬閾值法結合起來提出了一種加權閾值法其中的權值設置使得閾值公式變得連續。
a）加權閾值
其中：Cl，d是第l層第d個方向Contourlet變換系數；Thl，d是第l層第d個方向上的去噪閾值；N是一個經驗常數，一般取值大于150即可。
閾值去噪方法除了閾值函數的選取，另一個關鍵因素就是對閾值的具體估計。如果閾值太小，去噪后的信號仍然有噪聲的存在；閾值太大，重要圖像特征又被濾掉，引起偏差。從直觀上講，對于給定的各種變換系數，噪聲越大，閾值就越大。閾值的確定方法可以借鑒基于小波變換的去噪算法，采用全局閾值或自適應閾值。全局閾值方法簡單，但它是對整個圖像的小波系數實施閾值處理，不考慮局部的統計特性與不同子帶和不同分解級數上的差別。然而不同子帶與不同分解層上的小波系數的差別非常大，對不同分解層與不同子帶采用不同的閾值將會比統一閾值的效果更好。分層閾值法（level shrink）[16~20]對不同分解層數上的小波系數采用不同的閾值，克服了全局閾值的缺點，提高了閾值去噪的效果。但分層閾值并沒有考慮同一層中不同子帶之間的差別，如圖像的小波分解得到三個不同子帶，不同的子帶含有圖像的不同類型的細節信息，它們應該采用不同閾值。
目前使用的閾值去噪方法基本上都是建立在對噪聲方差估計的基礎上[21]，也就是說要確定閾值，就要對噪聲的方差進行估計。而文獻[21]提出了一種不依賴于噪聲方差估計的方法：用主成分分析法直接根據對噪聲能量的估計來計算閾值。王忠華[22]提出了一種新的算法，其核心是估計無噪期望信號的概率，用廣義拉普拉斯分布對Contourlet變換的系數進行建模，然后以重要系數的條件概率定義了一個收縮函數以達到去噪的目的。此外，郁梅等人[23]提出了以Contourlet系數的尺度間相關性結合閾值函數進行去噪的方法。
3.2 對Contourlet的改進
在變換域閾值去噪過程中，如果變換缺乏平移不變性（即信號序列上較小的循環平移會導致變換系數能量分布較大的變化），在信號不連續點的鄰域會產生偽吉布斯效應，產生一定幅度的上沖和下沖。這種視覺失真與不連續點的位置密切相關，如對于Haar小波，在n/2處的不連續點不會導致偽吉布斯振蕩，但在其他位置（如n/3處）的不連續點就會導致非常明顯的偽吉布斯振蕩。一種抑制這種視覺失真的方法就是，對信號進行循環平移，改變信號的不連續點位置，對平移后的信號進行閾值去噪，再將去噪后的信號進行反平移就能避免偽吉布斯效應。文獻[19，24~26]采用的就是這種方法。通過平移算子對含噪圖像進行平移，對平移后的圖像作Contourlet變換，然后用閾值法處理得到的變換系數，再通過反向平移恢復到原始圖像一樣的排列次序，從而達到去噪的目的。但是圖像中一般包含有多個不連續點，對某一個不連續點的最優平移可能導致其他不連續點鄰域內偽吉布斯振蕩的加劇。對此文獻[19，26]中引入了Coifman和Donoho提出的cycle spinning[27]，即對含噪圖像在一定范圍內進行循環平移—閾值去噪—反方向循環平移，有效地解決了這一問題。此外，Vo等人[28]結合多分辨濾波器組和雙重DFB從而提出的可平移濾波器組為設計具有平移不變性的Contourlet變換提供了一個思路。
Contourlet變換缺乏平移不變性是由LP分解和DFB中的采樣操作引起的，因此非下采樣的濾波方法引起了大家的重視。Do等人[29]于2003年9月提出了移不變的LP方法；Eslami等人[30]以這個移不變的LP和一個移不變的DFB構成了移不變的Contourlet變換。其中移不變的DFB是通過由下式決定的過采樣矩陣得到的：
慶余[32]用軟、硬閾值相結合的閾值方法將這個平穩Contourlet變換應用于圖像去噪。類似于文獻[31]，練秋生等人將一維97雙正交濾波器組用McClellan變換映射成的近似圓對稱二維濾波器組代替LP分解，再級聯非下采樣方向濾波器組構造了非下采樣Contourlet變換[33]。
為了去除Contourlet變換中LP分解后隔行隔列下采樣操作引起的頻譜混淆現象，文獻[31，34，35]在設計多分辨分解濾波器組時都采用McClellan變換的方法，將一維濾波器組映射為二維濾波器組，保持了一維濾波器組的緊支撐、線性相位、精確重構及消失矩等特性。
Contourlet變換具有4/3的冗余度，這來自于LP分解過程。Eslami等人[36]將小波變換和方向濾波器組相結合提出了輪廓小波變換(waveletbased Contourlet transform)，解決了Contourlet變換的冗余度問題，并且保持了小波變換良好的非線性逼近特性。輪廓小波變換是以小波變換代替Contourlet變換中的LP分解，然后對小波分解得到的三個高頻子帶LH、HH、HL用DFB進行方向分解。但是輪廓小波變換在進行去噪時同樣會引入視覺誤差(artifacts)[37]。為了解決這個問題，Eslami等人[38]提出了混合小波方向濾波器組變換(hybrid wavelets and directional filter banks，HWD)。在該變換中提出了垂直方向濾波器組(vertical directional filter banks，DFB)及水平方向濾波器組(horizontal directional filter banks，HDFB)分解，即只用方向濾波器組對垂直或水平其中一個方向進行多方向分解。在該變換中將傳統方向濾波器組應用于小波分解的HH子帶，將垂直方向濾波器組、水平方向濾波器組分別應用于小波分解的LH、HL子帶。雖然這樣可以降低運算的復雜度，但是從減小視覺誤差的角度來說，該變換并沒有達到令人滿意的結果。因為根本原因在于傳統方向濾波器組采用了下采樣操作，這樣就破壞了平移不變特性。為此，董巍等人[37]提出了改進的輪廓小波變換，即由小波變換級聯非下采樣方向濾波器構成了非下采樣輪廓小波變換(wavelets and nonsubsampled directional filter banks，WNSDFB)，從而保持了平移不變性。
除了以小波變換等替代Contourlet變換中的LP分解的方法外，郭旭靜等人[39]設計了一種基于全相位離散余弦變換(all phase discret cosine transform，APDCT)濾波器和全相位反離散余弦變換(all phase inverse discret cosine transform，APIDCT)內插的多級分解方法，用此方法代替原Contourlet變換中的LP分解，使得分級方法在重建時只需對低頻圖像內插，再與高頻部分相加即可。與LP分解相比，大大降低了計算量。
4 結束語
Contourlet變換是在小波理論深入研究和蓬勃發展的基礎上提出來的，它能更有效地表示圖像中的方向信息，彌補了小波分析的一些不足，成為近年來研究的一個熱點。但其理論尚需進一步的發展，還存在一些需要解決的問題，如冗余度、平移不變性、計算復雜度及濾波器組的設計等問題，也沒有類似小波變換的快速分解算法。就目前的研究結果來看，以其他多分辨分析的方法來替代LP分解是Contourlet變換研究的一個方向；如何使構造的Contourlet變換具有平移不變性是研究的重點。另外，自然圖像中的方向不僅僅是Contourlet變換中DFB所具有的2l個方向，設計具有任意方向的多方向濾波器組將成為下一代多方向小波研究的重點。
目前，Contourlet變換已廣泛應用于圖像去噪領域，隨著理論及方法的進一步發展，其在圖像處理領域的應用前景必將更加光明。
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