基于空間距離的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法
2009-01-01 00:00:00曾映蘭伍軍鄭金華
計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究 2009年2期
(湘潭大學(xué) 信息工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)系， 湖南 湘潭 411105)
摘 要：在經(jīng)典差分進(jìn)化的基礎(chǔ)上，提出了一種基于空間距離的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法(SDMODE)，與目前經(jīng)典算法NSGAⅡ和εMOEA 進(jìn)行比較，結(jié)果表明該算法擁有良好的分布性，同時(shí)也較好地改善了收斂性。
關(guān)鍵詞：多目標(biāo)進(jìn)化算法;多目標(biāo)優(yōu)化問題;差分進(jìn)化;空間距離
中圖分類號(hào)：TP18 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
文章編號(hào)：10013695(2009)02045104
Multiobjective differential evolutionary algorithm based on spacial distance
ZENG Yinglan， WU Jun， ZHENG Jinhua
(Dept. of Computer， School of Information Engineering， Xiangtan University， Xiangtan Hunan 411105， China)
Abstract:Based on the classical differential evolution，proposed a new multiobjective differential evolutionary algorithm based on spacial distance.Compared with NSGAⅡ and εMOEA，the experimental results demonstrate that the new algorithm can obtain good convergence and can converge to the true Pareto front fast at the same time.
Key words:multiobjective evolutionary algorithm; multiobjective optimization problem(MOP); differential evolutionary(DE); spacial distance
0 引言
多目標(biāo)優(yōu)化問題(MOPs)在許多領(lǐng)域是很常見的，工程實(shí)踐和科學(xué)研究中優(yōu)化問題大多是多目標(biāo)優(yōu)化問題，各目標(biāo)之間通過決策變量相互制約，對其中一個(gè)目標(biāo)優(yōu)化必須以其他目標(biāo)為代價(jià)，而且各目標(biāo)的單位又往往不一致，因此很難客觀地評價(jià)多目標(biāo)問題解的優(yōu)劣性。MOPs的求解不同于單目標(biāo)優(yōu)化問題(single objective optimization problems，SOPs)。SOPs的最優(yōu)值只有一個(gè)， MOPs的解不是惟一的，而是存在一個(gè)最優(yōu)解集合，集合中的元素稱為Pareto最優(yōu)或非劣最優(yōu) (nondominance)。求解它們需要用不同于單目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)工具，甚至最優(yōu)的含義也發(fā)生了變化[1]。
自從進(jìn)化算法能解決數(shù)學(xué)方法不能很好處理的非連續(xù)、非凸、多峰以及不可微的目標(biāo)函數(shù)后，在過去的十五年中，進(jìn)化算法在解決復(fù)雜的多目標(biāo)優(yōu)化問題上獲得了廣泛應(yīng)用。多目標(biāo)進(jìn)化算法能夠在一次運(yùn)行中獲得多個(gè)候選解，因此多目標(biāo)進(jìn)化算法非常適合用來處理多目標(biāo)優(yōu)化問題。
差分進(jìn)化是一種相對新穎的進(jìn)化算法，并已成為進(jìn)化算法的一個(gè)主要分支。差分進(jìn)化是一種適合處理連續(xù)目標(biāo)優(yōu)化問題的進(jìn)化算法。一些學(xué)者已經(jīng)提出了一些處理多目標(biāo)優(yōu)化問題的改進(jìn)版的差分進(jìn)化算法。在一些基本的方法中，它們僅僅把多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為單目標(biāo)形式并使用差分進(jìn)化去進(jìn)行求解[2~4]。第一個(gè)擴(kuò)展差分進(jìn)化用來解決多目標(biāo)優(yōu)化問題的方法是基于Pareto的差分進(jìn)化方法[5]，之后相繼提出了PDE[6]、GDE[7]、GDE2[8]以及最近提出的處理約束優(yōu)化問題的GDE3[9]。本文在對這些算法進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，對原有算法進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種基于空間距離的差分進(jìn)化算法(SDMODE)，并針對差分進(jìn)化算法解的產(chǎn)生過程中容易出現(xiàn)變量越界問題提出了一種有效的修補(bǔ)方法。
1 多目標(biāo)優(yōu)化問題的有關(guān)概念
下面給出與本文相關(guān)的幾個(gè)概念，由于最大值優(yōu)化問題與最小值優(yōu)化問題可以相互轉(zhuǎn)換，這里只考慮最小值優(yōu)化問題。
定義1 多目標(biāo)優(yōu)化問題。其一般描述如下：
min f(X)=(f1(X)， f2(X)，…， fr(X))(1)
gi(X)≥0;i=1，2，…，k(2)
hi(X)≥0;i=1，2，…，l(3)
其中：f(X)為目標(biāo)函數(shù)，有r個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，這些目標(biāo)是相互沖突的；式(2)和(3)分別為不等式約束和等式約束；多目標(biāo)優(yōu)化的目的就尋找最優(yōu)解X*=(x*1，x*2，…，x*n)，使f(X*)在滿足約束式(2)和(3)的條件下同時(shí)達(dá)到Pareto最優(yōu)。
定義2 個(gè)體間的支配關(guān)系。對于一個(gè)如定義1的多目標(biāo)優(yōu)化問題，設(shè)p和q是進(jìn)化群體Pop中的任意兩個(gè)不同的個(gè)體。p支配(dominate)q，必須滿足以下兩個(gè)條件：
a)對所有的子目標(biāo)，p不比q差，即fk(p)≤fk(q)(k=1，2，…，r)。
b)至少存在一個(gè)子目標(biāo)，使p比q好，即l∈{1，2，…，r}，使fl(p)＜fl(q)。
此時(shí)稱p為非支配的，q為被支配的，表示為pq。其中“”是支配關(guān)系。
多目標(biāo)優(yōu)化中的最優(yōu)解，通常稱之為Pareto最優(yōu)解，它最早由Edgeworth[10]提出，后來由V. Pareto等人[11]總結(jié)得到具體概念，故此而命名為Pareto 最優(yōu)解。它一般可以描述如下：
定義3 Pareto最優(yōu)解。對于一個(gè)如定義1的多目標(biāo)優(yōu)化問題，Pareto最優(yōu)解X*即為進(jìn)化種群中的非支配解，定義如下：
f(X*)=optX∈Ωf(X) （其中f:Π→Rr）(4)
這里Ω為滿足式(2)(3)的可行解集，即
Ω={X∈Rn|gi(X)≥0，hj(X)=0;(i=1，2，…，k;j=1，2，…，l)}
稱Ω為決策變量空間(簡稱決策空間)；向量函數(shù)f(X)將
ΩRn映射到集合ΠRr；Π是目標(biāo)函數(shù)空間(簡稱目標(biāo)空間)。
由于Pareto最優(yōu)解往往不止一個(gè)，而是一個(gè)最優(yōu)解的集合，這里用PS表示。定義如下：
定義4 Pareto最優(yōu)解集。對于一個(gè)如定義1的多目標(biāo)優(yōu)化問題，它的最優(yōu)解集定義為
PS={X*}={X∈Ω|「X′∈Ω，fj(X′)≤fj(X)，(j=1，2，…，r)}(5)
Pareto最優(yōu)解集也稱為非支配解集(nondominated solutions，NDS)，非支配解集的構(gòu)造是根據(jù)個(gè)體間的支配關(guān)系。在多目標(biāo)進(jìn)化算法的進(jìn)化過程中，針對每一代進(jìn)化群體，構(gòu)造出當(dāng)前種群的非支配解集。MOEAs的任務(wù)就是使當(dāng)前的非支配集逐漸逼近真實(shí)的Pareto最優(yōu)解集。
2 相關(guān)工作
差分進(jìn)化是進(jìn)化算法的一個(gè)分支，差分進(jìn)化[12，13]是由Rainer Storn Kenneth Price于1995年提出來的，利用它來解決連續(xù)區(qū)域的函數(shù)優(yōu)化問題。差分進(jìn)化的設(shè)計(jì)原則是簡單、高效，并且使用了浮點(diǎn)數(shù)編碼代替了二進(jìn)制編碼。作為一種典型的進(jìn)化算法，差分進(jìn)化擁有一個(gè)隨機(jī)初始化的種群，然后通過使用選擇、交叉、變異操作對初始種群進(jìn)行進(jìn)化。進(jìn)化算法使用一些已經(jīng)存在的方法來判斷算法的終止標(biāo)準(zhǔn)，但是通常一個(gè)預(yù)先定義的進(jìn)化代數(shù)上限或者最大適應(yīng)度評價(jià)次數(shù)為算法提供了一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕K止條件。
在每一代，差分算法通過種群中的每一個(gè)決策向量xi，G來產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)向量ui，G，i為決策向量在種群中的標(biāo)號(hào)，G為當(dāng)前進(jìn)化的代數(shù)。在大多數(shù)普通差分進(jìn)化算法中，產(chǎn)生一個(gè)實(shí)驗(yàn)向量的方法為DE/rand/1/bin[14]:r1，r2，r3∈{1，2，…，NP}，(randomly selected，except mutually different and different from i)。
jrand=floor(randi[0，1)×D)+1
for(j=1;j<=D;j=j+1)
{
if (randj[0，1]＜CR∨j=jrand)
uij，G=xr3j，G+F×(xr1j，G-xr2j，G)
else
ujj，G=xij，G
}
其中：NP為種群規(guī)模；D為向量維數(shù)。兩個(gè)隨機(jī)選擇向量的刻度差F×(xr1j，G-
xr2j，G)，定義了變異的方向和大小。當(dāng)這個(gè)刻度差加到隨機(jī)選擇的第三個(gè)向量xr3j，G上時(shí)，便對應(yīng)著這個(gè)向量的變異量。CR和F為差分進(jìn)化算法中用戶定義的控制參數(shù)，在整個(gè)算法的執(zhí)行過程中固定不變。用來控制交叉操作的參數(shù)CR表示通過三個(gè)隨機(jī)選擇向量的線性組合來產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)向量某個(gè)元素的概率。條件j=jrand為了確保實(shí)驗(yàn)向量uij，G與原向量xij，G相比，至少有一個(gè)元素不相同。參數(shù)F是變異縮放因子，取值為(0，1]。在算法的運(yùn)行過程中參數(shù)CR控制著交叉操作發(fā)生的概率，而參數(shù)F控制著搜索的速度和魯棒性，經(jīng)驗(yàn)表明，一個(gè)較小的F值能夠提高收斂速度。
在相關(guān)算法中，存在兩點(diǎn)不足：a)并沒有使用一種有效的方法來維護(hù)種群的分布性；b)在新向量產(chǎn)生的過程中，很容易出現(xiàn)變量越界，沒有使用一種有效的方法進(jìn)行修補(bǔ)。
3 基于空間距離的差分進(jìn)化算法
本文提出的算法(SDMODE)偽代碼如下：
算法1 G為進(jìn)化代數(shù)，種群P大小為NP，臨時(shí)種群Pop大小為NP，混合種群newpop大小為2NP， xjG=k為第k代種群P中第j個(gè)個(gè)體，種群中每個(gè)個(gè)體有D個(gè)變量，CR為交叉概率。
輸入：D，Gmax，NP≥4，CR∈[0，1]，F(xiàn)∈(0，1]
初始變量邊界：lower(xi)，upper(xi)，i=1，…，D
初始化第0代種群PG=0={x1G=0，…，xNPG=0}如下：
for each個(gè)體j∈PG=0
xji，G=0=lower(xi)+randi[0，1]×(upper(xi)-lower(xi))，i=1，…，D
end for each
評價(jià)PG=0中的每一個(gè)個(gè)體，g=0;
while g≤Gmax
Pop=;
for all j≤NP
隨機(jī)挑選r1，r2∈{1，2，…，NP}并且j≠r1≠r2
生成一個(gè)隨機(jī)數(shù)irand∈(1，…，D)
Forall i≤D，=uji，G=g=xji，G=g-1+F×(xr1i，G=g-1-xr2i，G=g-1)
if (rand[0，1)＜CR∨i=irand)
xji，G=g-1;otherwise
如果產(chǎn)生的uji，G=g超出了變量邊界，則利用修補(bǔ)規(guī)則進(jìn)行修補(bǔ)
end forall
pop=pop∪uji，G=g;
end for all
Newpop＝P∪pop，并對newpop進(jìn)行非支配分層F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，當(dāng)| F1|>NP時(shí)，利用算法2從F1中選取NP個(gè)個(gè)體進(jìn)入Pg+1中；當(dāng)|F1≤NP時(shí)，Pg+1＝Pg+1∪F1， 并從Fi(i≥2)中任意挑選NP-| F1|個(gè)個(gè)體進(jìn)入Pg+1中
g=g+1;
end while
return 非支配集P
算法2 修剪過程archive truncation procedure(Fi)
a）對Fi計(jì)算其中任何兩個(gè)個(gè)體的歐幾里德距離。
b)選取所有個(gè)體之間歐幾里德距離最小的一對個(gè)體（A，B），如果存在很多對距離一樣小的個(gè)體，則任意選取一對，判斷這對個(gè)體各自與其他個(gè)體的次短距離；如果個(gè)體A的次短距離小于個(gè)體B的次短距離，則從Fi中刪除該個(gè)體A，否則從Fi中刪除該個(gè)體B。
c）如果|Fi|>NP則返回a），否則返回Fi。
本算法與通常的DE算法有兩點(diǎn)不同:a)在通常的DE中產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)向量ujG=g是與標(biāo)志向量xjG=g-1進(jìn)行支配關(guān)系比較，而在本算法中，則把產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)向量直接并入臨時(shí)種群Pop。在一代進(jìn)化操作完成之后，將臨時(shí)種群和原種群混合形成混合種群，然后利用非支配排序?qū)旌戏N群進(jìn)行分層，根據(jù)個(gè)體之間的空間距離對混合種群進(jìn)行修剪，使其大小為NP。b)在通常的DE算法中使用如下操作產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)向量:
uji，G=g=xr3i，G=g-1+F×(
xr1i，G=g-1-xr2i，G=g-1) if(rand[0，1)＜CR∨i=irand）
即在隨機(jī)選擇的向量
xr3i，G=G-1上加上一個(gè)擾動(dòng)；而在SDMODE中采取最近最優(yōu)原則，對當(dāng)前向量xr3i，G=G-1加上一個(gè)擾動(dòng)，即
uji，G=g=xji，G=g-1+F×(
xr1i，G=g-1-xr2i，G=g-1) if(rand[0，1)＜CR∨i=irand）
產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)向量的過程有可能使得該向量的某個(gè)變量超出邊界范圍，這時(shí)采用如下的修補(bǔ)算子對該變量進(jìn)行修復(fù)，修補(bǔ)操作是依據(jù)表達(dá)式(6)進(jìn)行的：
uji，G=g=
(xr3i，G=g-1+uji，G=g)/2 while uji，G=g＜lower(xi)
upper(xi)-(uji，G=g-upper(xi))/2 while uji，G=g＞upper(xi)(6)
4 實(shí)驗(yàn)與分析
4.1 測試函數(shù)與實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)置
本文所用到的測試函數(shù)如表1所示。
表1 測試函數(shù)集
測試問題目標(biāo)函數(shù)特征
ZDT1
f1(x1)=x1
f2(x)=g(1-(f1/g))
g(x)=1+9mi=2xi/(m-1)
n=30;0≤xi≤1凸
ZDT2
f1(x1)=x1
f2(x)=g(1-(f1/g)2)
g(x)=1+9mi=2xi/(m-1)
n=30;0≤xi≤1凹
ZDT3f1(x1)=x1
f2(x)=g(1-f1/g-(f1/g)sin(10π f1)
g(x)=1+9mi=2xi/(m-1)
n=30;0≤x≤1非連續(xù)
ZDT6f1(x1)=1-exp(-4x1)sin6 (6π x1)
f2(x)=g(1-(f1/g)2)
g(x)=1+9((mi=2xi/(m-1))0.25)
n=10;0≤xi≤1凹
SCHf1(x)=x2f2(x)=(x-2)2
-105≤x≤105凸
FON1f1(x，y)=1-exp(-(x-1)2-(y+1)2)
f2(x，y)=1-exp(-(x+1)2-(y-1)2)
-4≤x，y≤4凹
參與比較的兩個(gè)MOEAs是目前相當(dāng)經(jīng)典的算法：NSGAⅡ[15]與εMOEA[16]。三種算法都使用實(shí)數(shù)編碼方式，實(shí)驗(yàn)的參數(shù)設(shè)置根據(jù)文獻(xiàn)[15，16]的建議設(shè)置，模擬二進(jìn)制交叉和多項(xiàng)式變異算子的參數(shù)設(shè)置分別為ηc=15，ηm=20，種群規(guī)模 popsize=100，進(jìn)化代數(shù)G=200。在SDMODE中，CR取值為0.95。發(fā)現(xiàn)對于較難收斂的測試函數(shù)ZDT6，一個(gè)較大的F(0.6)值能取得較好的收斂度和分布性；而對于其他幾個(gè)測試函數(shù)，一個(gè)較小的F(0.4)值比較適合。另外εMOEA和NSGAⅡ中歸檔集的最終個(gè)體數(shù)目與進(jìn)化種群規(guī)模相等。表1為實(shí)驗(yàn)用到的六個(gè)測試函數(shù)。
說明：在εMOEA中，不存在進(jìn)化代數(shù)，只存在適應(yīng)度評價(jià)次數(shù)，且適應(yīng)度評價(jià)次數(shù) = 進(jìn)化代數(shù)×種群規(guī)模。因此，設(shè)置適應(yīng)度評價(jià)次數(shù)為20 000。在εMOEA中，歸檔集的大小是變化的，因此，為了得到上述種群規(guī)模大小的歸檔集，需調(diào)節(jié)ε的值。
4.2 實(shí)驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析
SDMODE、NSGAⅡ與εMOEA在如上的實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)置下對表1中的六個(gè)測試函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到的Pareto Front分別如圖1~6所示。
從圖1~6可以看出，三種算法得到的Pareto Front，無論在分布廣度，還是在均勻性方面，SDMODE都比NSGAⅡ和εMOEA要好一些。主要表現(xiàn)為兩點(diǎn)：a)NSGAⅡ與εMOEA得到的Pareto Front在有些區(qū)域個(gè)體密集，一些區(qū)域個(gè)體稀疏，甚至有一些區(qū)域出現(xiàn)個(gè)體缺失。b)NSGAⅡ與εMOEA在優(yōu)化非連續(xù)或者非凸的MOPs時(shí)，如ZDT2、ZDT3和FON1等，容易造成部分區(qū)域個(gè)體嚴(yán)重缺失；還有εMOEA很難找到邊界點(diǎn)，造成邊界的一段Pareto Front丟失，如ZDT1和SCH。 這說明SDMODE得到的Pareto Front的分布性明顯優(yōu)于NSGAⅡ和εMOEA。
4.3 性能評價(jià)
上面已經(jīng)定性地比較了SDMODE 、NSGAⅡ和εMOEA的分布性能。為了進(jìn)行定量分析，這里引入以下兩個(gè)性能評價(jià)指標(biāo)：
a)SP。SP為Schott[17]提出來的一種評價(jià)分布性的指標(biāo)，是目前使用最多的評價(jià)分布的參數(shù)。SP的計(jì)算式如下：
SP=1/(n-1)ni=1(-di)2(7)
其中：di=minj{rk=1
|fik-fjk|}(i，j=1，2，…，n);為d的平均值；fik為第i個(gè)個(gè)體的第k維目標(biāo)值；n為算法得到的Pareto最優(yōu)解集中解的個(gè)數(shù)。SP越小，說明分布性越好。
b)GD。GD為世代距離(generational distance)，GD主要用于評價(jià)收斂性。 GD定義為
GD=ni=1d2i/n(8)
其中：n是解集中個(gè)體的數(shù)目；di是每個(gè)個(gè)體到全局非劣最優(yōu)解的最小歐幾里德距離。GD的值越小說明解集越靠近全局非劣最優(yōu)區(qū)域；如果GD=0就說明算法的解都在全局非劣最優(yōu)區(qū)域上，這是最理想的情況。
在如上的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下，對表1中所有測試函數(shù)，運(yùn)行SDMODE、NSGAⅡ和εMOEA各20次，得到的SP的平均值(mean)及其標(biāo)準(zhǔn)差(σ)列于表2，表中的黑體數(shù)字表示該算法得到的值最小。可以看出，SDMODE在所有的測試函數(shù)上的分布性均比NSGAⅡ與εMOEA要好得多。
由于有些測試函數(shù)沒有提供真實(shí)Pareto Front的表達(dá)式，這里只對部分測試函數(shù)的GD進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。對于表1中的部分測試函數(shù)，運(yùn)行SDMODE、NSGAⅡ和εMOEA各20次，統(tǒng)計(jì)GD的平均值(mean)與方差(σ)，得表3。表中的黑體數(shù)字表示該算法得到的值最小。從表3中可知，在這些測試函數(shù)上，SDMODE得到的平均GD均要小于NSGAⅡ所得到的平均GD，但要略大于εMOEA所得到的平均GD，這主要是因?yàn)棣臡OEA算法本質(zhì)上是一種基于網(wǎng)格的方法。從圖3中可以看出，SDMODE在改進(jìn)算法分布性的同時(shí)，算法本身也擁有較好的收斂性。
5 結(jié)束語
本文在經(jīng)典差分進(jìn)化的基礎(chǔ)上，提出了一種基于空間距離的差分進(jìn)化算法(SDMODE)， 該算法有兩個(gè)特點(diǎn)：a)采用空間距離對種群進(jìn)行維護(hù)，使種群保持了良好的分布性；b)采用最近最優(yōu)原則直接在當(dāng)前向量上加上一個(gè)擾動(dòng)。與NSGAⅡ和εMOEA進(jìn)行比較，結(jié)果表明該算法擁有良好的分布性，同時(shí)也較好地改善了收斂性。如何使算法在得到一個(gè)具有良好分布性解集的同時(shí)，也能獲得一個(gè)理想的收斂性，將是今后研究工作的一個(gè)重要目標(biāo)。
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