基于多重小波變換與新閾值函數的去噪方法研究
2009-01-01 00:00:00劉春波王鮮芳潘豐
計算機應用研究 2009年2期
(1.江南大學 通信與控制工程學院， 江蘇 無錫 214122；2.河南科技學院 信息工程學院， 河南 新鄉 453003)
摘 要：基于小波分析的特點，提出了一種對信號數據進行多重小波變換閾值去噪的方法。新的閾值函數的構造是在研究D.L.Donoho和I.M.Johnstone提出的小波閾值去噪方法的基礎上完成的。與傳統的軟硬閾值函數相比，新閾值函數在整個定義域內統一定義，表達式簡單易于計算，與軟閾值函數一樣具有連續性，而且是高階可導的，便于進行各種數學處理，克服了硬閾值函數不連續、軟閾值函數中估計小波系數與分解小波系數之間存在著恒定偏差的缺點。仿真實驗結果表明，采用新的閾值函數的去噪效果在信噪比增益和最小均方誤差意義上均優于傳統的軟硬閾值方法。
關鍵詞：多重小波變換；小波閾值去噪；閾值函數；均方誤差；信噪比
中圖分類號：TP274 文獻標志碼：A
文章編號：10013695(2009)02045502
Denoising method based on multiple wavelet transform and
novel thresholding function
LIU Chunbo1，WANG Xianfang1，2，PAN Feng1
(1.School of Communications Control Engineering， Jiangnan University， Wuxi Jiangsu 214122， China；2.School of Information Engi-neering， Henan Institute of Science Technology， Xinxiang Henan 453003， China)
Abstract:Based on the characteristics of wavelet analysis，proposed a novel denosing method which combined multiple wavelet transform with a new thresholding function.The presented novel thresholding function based on the wavelet shrinkage put forward by D.L.Donoho and I.M.Johnstone and had many advantages over traditional thresholding functions. Comparing with the traditional thresholding functions， it is simple in expression， as continuous as the softthresholding function， and has a high order derivative which makes some kinds of mathematical disposals convenient .It overcames the shortcoming of the discontinuous character in hardthresholding function and solves the problem of the permanent bias in soft thresholding function.Simulation results indicate that the proposed denoising method gives better SNR gains and MSE performance.
Key words:multiple wavelet transform; wavelet shrinkage; thresholding function; MSE; SNR
傳統去噪方法[1，2]的不足在于使信號變換后的熵增高，無法刻畫信號的非平穩特性并且無法得到信號的相關性。為了克服這些缺點，人們開始尋求使用小波變換解決信號去噪問題[1~5]。1995年，Donoho在小波變換的基礎上提出了小波閾值去噪的概念[6]，由于此方法在Besov空間上可得到最佳估計值，而任何其他線性估計均達不到同樣的估計結果。閾值去噪的方法引起了世界范圍內學者的廣泛關注，但是此方法所采用的軟、硬閾值函數在實際應用中還存在一些有待改進的地方[7~11]。
本文首先對信號進行多重小波變換去噪，然后用在軟、硬閾值函數基礎上提出一種新的閾值函數進行二次去噪。與傳統的閾值函數相比，新閾值函數在噪聲和有用信號之間存在一個平滑過渡區，更符合自然信號的連續特性。仿真結果也表明采用本文方法能取得滿意的去噪效果。
1 多重小波變換去噪
1.1 小波變換去噪的思想
小波分析是一種時頻域分析，具有多分辨分析的特性。 Donoho[6]提出的小波閾值噪聲消除法主要的理論依據是：屬于Besov空間的信號在小波域內能量主要集中于有限的幾個系數中，而噪聲的能量卻分布于整個小波域內。因此，經小波分解后信號的系數要大于噪聲的系數，用閾值的方法可將信號系數保留，而使大部分噪聲系數減少至零。在對信號進行小波變換時，通常認為在尺度1上主要是噪聲。但按此假設將小波系數置為零處理后，其去噪效果還不能令人滿意，因為實際上在該尺度還含有部分的有用信號。
1.2 多重小波變換去噪方法
針對上述問題，本文采用一種多重小波變換去噪的方法，即對小波變換尺度1上的小波系數再進行三個尺度的二次小波變換，并認為二次小波變換在尺度1上的小波系數完全被噪聲控制[12]，因此將二次小波變換的尺度1上的小波系數置為零，將其余尺度的小波系數重構。將重構后的結果作為第一次小波變換在尺度1上的小波系數，然后再與第一次小波變換其他尺度上的小波系數重構得到去噪后的原信號。這樣可較好地去除高頻隨機噪聲而基本不影響有效信號。具體算法如下：
設原始信號f(x)的離散采樣序列為D=Sd02f(n)，Wdj2f(n)為D在每一個尺度j上的小波變換值，Sdj2f(n)為D在尺度j上的近似。
小波算法的基本思想是在每一尺度j上，將信號Sdj-12f分解為下一尺度的Sdj2f和Wdj2f[8]：
Sdj2f=Sdj-12f×hj(1)
Wdj2f=Sdj-12f×gj；j=1~J(2)
其中：J為最佳分解尺度；hj和gj分別表示h和g中每相鄰兩系數間插入2j-1個零點構成的新的濾波器。
然后，對尺度1上的小波系數Wd12f再進行三個尺度的小波變換，即
Sdj2(Wd12f)=Sdj-12(Wd12f)×hj(3)
Wdj2(Wd12f)=Sdj-12(Wd12f)×gj；j=1，2，3(4)
將二次小波變換在尺度1上的小波系數置為0，即Wd12(Wd12f)=0。
接著將其余尺度的小波系數重構，重構后的結果作為第一次小波變換在尺度1上的小波系數，即
Sdj-12(Wd12f)=Sdj2(Wd12f)×j+Wdj2(Wd12f)×j；j=3，2，1(5)
將該小波系數再與第一次小波變換其他尺度上的小波系數重構，得到去噪后的原信號：
Sdj-12f=Sdj2f×j+Wdj2f×j；j=J~1(6)
2 一種新的閾值函數去噪
2.1 小波閾值去噪的原理
假設有如下一觀測信號:
x(t)=s(t)+n(t)(7)
其中：x(t)為含噪信號；s(t)為原始信號；n(t)為高斯白噪聲，服從N(0，σ2)分布。
對x(t)作離散小波變換，可得
wx(j，k)=ws(j，k)+wn(j，k)；j=0，1，2，…，J；k=0，1，2，…，N(8)
其中：wx(j，k)、ws(j，k)和wn(j，k)分別是含噪信號、原始信號和噪聲在第j層上的小波系數; J為小波變換的最大分解層數;N為信號的長度。由于小波變換是線性變換，對含噪信號x(t)作離散小波變換后，得到的小波系數wx(j，k)，記為wj，k，仍由兩部分組成:一部分是原始信號s(t)的小波系數ws(j，k)，記為uj，k;另一部分是噪聲n(t)對應的小波系數wn(j，k)，記為vj，k。
小波閾值去噪方法的基本思想是:當wj，k小于某一閾值時，wj，k主要由噪聲引起，認為wj，k≈vj，k，可將其舍去;當wj，k大于閾值時，小波系數主要由信號引起，可認為wj，k≈uj，k。軟硬閾值法都是對大于閾值部分的wj，k進行處理。前者是將該部分小波系數按一個固定量向零收縮;后者直接取wj，k=uj，k；然后用處理后的小波系數j，k進行小波重構，得到去噪后的信號(t)。小波閾值去噪原理如圖1所示。
小波閾值去噪方法的關鍵步驟是閾值處理，這部分包括閾值的估計和閾值函數的選取，本文只針對閾值函數的選取進行研究，Donoho提出的軟、硬閾值函數[6，13]分別如式 (9)(10)所示。
j，k=sgn(wj，k)(|wj，k|-λ)|wj，k|≥λ0|wj，k|＜λ（9）
j，k=wj，k|wj，k|≥λ
0|wj，k|＜λ（10）
其中：sgn(#8226;)為符號函數，閾值λ取σ2 log(N)。Donoho在文獻[6]中證明了由此方法得到的估計信號(t)在最小均方誤差意義上是有效的。
2.2 構造一種新的閾值函數去噪
在硬閾值方法中，wj，k在-λ與λ處是不連續的；在軟閾值方法中，雖然wj，k整體連續性較好，但與j，k之間總存在著恒定的偏差，影響重構的精度，再者軟閾值函數的導數不連續。在實際應用中，經常要對一階導數甚至是高階導數進行運算處理，軟閾值函數的應用局限性可見一斑。為克服該缺點，本文構造了一種新的閾值函數：
j，k=wj，k-λ+2λ/（1+e2wj，k/λ）+λ tan h(wj，k)(11)
新閾值函數表達式簡單且具有無窮階連續導數，便于進行各種數學處理，因此與軟硬閾值函數相比，具有明顯的優越性和實用性。各種閾值函數對比圖如圖2所示。考察函數：
f(x)=x-λ+2λ/（1+e2x/λ）+λ tan h(x)(12)
limx→+∞f(x)/x=limx→∞
[x-λ+2λ/（1+exp(2x/λ)）+λtan h(x)]/x=1 (13)
limx→-∞f(x)/x=limx→∞
[x-λ+2λ/（1+exp(2x/λ)）+λ tan h(x)]/x=1 (14)
當x＞0時，
limx→+∞（f(x)-x）=limx→+∞
（x-λ+2λ/（1+e2x/λ）+λ tan h(x)-x)=limx→+∞(-λ+0+λ)=0 (15)
當x＜0時，
limx→-∞（f(x)-x）=limx→+∞
（x-λ+2λ/（1+e2x/λ）+λ tan h(x)-x)=limx→-∞(-λ+2λ-λ)=0 (16)
所以由式(13）~（16)可以看出式(12)是以直線y=x為漸進線的。也就是說新閾值函數以j，k=wj，k為漸進線，隨wj，k的增大j，k逐漸接近wj，k，克服了軟閾值函數中wj，k與wj，k之間具有恒定偏差的缺點。同時，當閾值λ很小時，新閾值函數的作用與硬閾值函數相當。圖3是取閾值λ分別等于30、40、50時，新閾值函數的示意圖。
3 仿真研究
為了說明新閾值函數的有效性和優越性，對某一含噪信號分別應用經典的軟硬閾值函數和新閾值函數對信號進行降噪處理。其中，閾值λi采用變尺度的σ2 log(N)/log(j+1)，隨著尺度j的增大，λj的值逐漸減小， 使該特性與噪聲在小波變換各尺度上的傳播特性相一致。其中：j為分解尺度；N為信號長度。噪聲方差σ總是不可知的，降噪處理時可以取σ=median(|ωjk|)/0.674 5[6]。仿真結果如圖4所示，降噪信號的信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)如表1所示。研究表明，新閾值函數的降噪能力在MSE和SNR兩個性能指標上均優于經典的軟硬閾值函數。
表1 各種方法的均方誤差和信噪比
方法MSESNR/dB
含噪信號143.889 130.870 7
新閾值函數法32.881 636.638 6
硬閾值函數法33.185 336.615 1
軟閾值函數法33.385 336.534 1
4 結束語
本文基于小波分析的特性，提出了一種對信號數據進行多重小波變換、構造新的閾值函數進行去噪處理的方法。該方法克服了一次小波變換可能損失部分有用信號、軟硬閾值函數應用上存在的局限性，可去除大部分高頻隨機噪聲，提取真實信號，進而提高數據的置信度。仿真結果也表明基于小波變換閾值的數據去噪方法，能有效恢復數據的真實性，提高數據的質量。
參考文獻：
［1］
桂林，周林，張家祥，等.MATLAB小波分析高級技術[M].西安:西安電子科技大學出版社，2006.
[2]歐陽森，宋政湘，陳德桂，等.小波軟閾值去噪技術在電能質量檢測中的應用[J].電力系統自動化，2002，26(19):5660.
[3]高志，余嘯海.MATLAB小波分析工具箱原理與應用[M].北京:國防工業出版社，2004.
[4] 桂延寧，焦李成，張福順.航空制導炸彈慣性參數遙測中的小波去噪[J].西安電子科技大學學報，2003，30(1):117119.
[5] 趙瑞珍.小波理論及其在圖像、信號處理中的算法研究[D].西安:西安電子科技大學，2001.
[6]DONOHO D L.Denoising by softthresholding[J].IEEE Trans on Information Theory，1995，41(3):613627.
[7]付煒，許山川.一種改進的小波域閾值去噪算法[J].傳感技術學報，2006，19(2):534540.
[8]付燕.改進的小波域閾值去噪方法[J].西安科技大學學報，2004，24(4): 467469.
[9]DONOHO D L，JOHNSTONE M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika，1994，81(3):425455.
[10]曲天書.基于SURE無偏估計的自適應小波閾值去噪[J].電子學報，2002，30(2): 266268.
[11] 張維強，宋國鄉.基于一種新的閾值函數的小波域信號去噪[J].西安電子科技大學學報，2004，31(2):296299，303.
[12]崔華，宋國鄉.基于小波閾值去噪方法的一種改進方案[J].現代電子技術，2005，192(1):810.
[13]李士心，劉魯源.基于小波閾值去噪方法的研究[J].儀器儀表學報，2002，23(3):478479.
