基于概念格的語言真值不確定性推理

（西南交通大學 智能控制開發中心， 成都 610031）

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摘 要：利用概念格來實現不確定性推理的過程中，給出了一個具體的語言真值格蘊涵代數的完備結構；作為概念格的擴充理論，提出了用于處理不確定性信息的語言真值概念格，并基于語言真值概念格給出了內逼近不確定性推理規則和外逼近不確定性推理規則，進而驗證了這兩種規則的還原性。

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關鍵詞：不確定性推理；概念格；格蘊涵代數；語言真值概念格

中圖分類號：TP18 文獻標志碼：A

文章編號：10013695(2009)02055302

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Linguistic truthvalued uncertainty reasoning based on concept lattice

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YANG Li，XU Yang

(Intelligent Control Development Center， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China)

Abstract:In uncertainty reasoning process of utilizing concept lattice，gave a concrete linguistic truthvalued lattice implication algebraic complete structure. As an extended theory of concept lattice，proposed the linguistic truthvalued concept lattice for dealing with the uncertainty information.Presented the internal and external approximate uncertainty reasoning rules based on the linguistic truthvalued concept lattice respectively， and thenverified the coherence of them. 

Key words:uncertainty reasoning; concept lattice; lattice implication algebra; linguistic truthvalued concept lattice

眾所周知，客觀物理世界中存在著大量的不確定性，并且人類對客觀物理世界反映過程中也會產生一定的不確定性[1，2]。在人類對不確定性進行處理時，常常表現出兩個較為顯著的特點:a）經常用自然語言描述不確定性；b）在不確定性的環境中進行推理（即不確定性推理），并基于此進行判斷與決策。20世紀80年代末，徐楊等人[3~5]提出了格蘊涵代數，使不確定性的描述有了更系統化的結構，并討論了相應的性質，為不確定性推理的研究提供了可靠的基礎。由德國的Wille教授于1982提出的經典概念格理論[6]，已作為數據分析的有效工具被廣泛應用于決策分析、信息檢索、數據挖掘和知識發現等領域[7~10]。因此，本文通過語言真值來刻畫不確定性，并將不確定性推理固定在概念格上，研究了基于概念格的語言真值不確定性推理，使不確定性推理更具有針對性，推理結果也更準確。首先，依據格蘊涵代數的定義方式，通過在語言真值集合上定義的相應算子，驗證了語言真值集合的格結構性及其代數性；其次，在語言真值格蘊涵代數上對經典概念格理論進行了擴充，提出了語言真值形式背景以及語言真值形式概念；最后，基于語言真值概念格給出了內部逼近不確定性推理以及外部逼近不確定性推理規則，并證明了其還原性。

1 基本概念

定義1[6] 一個形式背景是一個三元組（G，M，I）。這里G和M是集合，二元關系IG×M，G和M的元素相應地被稱為對象和屬性。通常，用g Im表示（g，m）∈I，意思是對象g有屬性m。對于AG和BM，定義A′={m∈M|g∈A，g Im}，B′={g∈G|m∈B，g Im}。因此，A′是A中所有對象所共有的屬性，B′是具有B中所有屬性的對象集，則形式背景(G，M，I)的概念定義為元素對(A，B)。這里AG，BM，A′=B，B′=A，概念(A，B)的外延是A，而它的內涵是B。

定義2[11] 設L是一個集合，如果L上的一個關系R滿足如下條件：x，y，z∈L，xRx （自反性），xRy，yRxx=y（反對稱性），xRy，yRzxRz（傳遞性），則稱R是L上的一個偏序關系，記做 “≤” ，并稱序對〈L，≤〉為偏序集。

定義3[3] 設（L，∧，∨，′）是一個有泛界O，I的有余格。若映射→:L×L→L滿足：x，y，z∈L

a）x→(y→z)=y→(x→z)；

b）x→x=I；

c）x→y=y′→x′；

d）若x→y=y→x=I，則x=y；

e）（x→y）→y=(y→x)→x；

f）（x∨y）→z=(x→z)∧(y→z)；

g）（x∧y）→z=(x→z)∨(y→z)；

則稱(L，∧，∨，′，→，O，I)為一個格蘊涵代數。

2 語言真值概念格

2.1 語言真值格蘊涵代數

定義4 令集合LE×T={(ai，br)|ai∈E，br∈T；i=1，2，…，n;r=1，2}，

LE×T上的偏序關系≤，稱(LE×T，≤)是語言真值偏序集，如果滿足以下條件: 

a)(E，≤)是修飾詞偏序集。其中：E={稍微，有點，的確，幾乎，…，絕對}是有限修飾詞集，記做{a1，a2，…，an}；“≤”是E上的偏序關系，即a1≤a2≤…≤an。

b)(T，≤)是元語言真值偏序集。其中：T={假，真}是元語言真值集，記做{b1，b2}；“≤” 是T上的偏序關系，即b1≤b2。 

c)(ai，br)≤(aj，bs)ai≤aj(r=s=2)

aj≤ai(r=s=1)

j＞n-i(r=1，s=2)

定理1 在集合LE×T上定義二元運算∨和∧， 則集合(LE×T，∨，∧)是一個格。其中，∨和∧分別定義如下

(ai，br)，(aj，bs)∈LE×T

“∨”:LE×T×LE×T→LE×T

(ai，br)∨(aj，bs)=

(ai，b2)∨(aj，b1)=(amax{i，n-j+1}，b2)(r=2，s=1)

(ai，b2)∨(aj，b2)=(amax{i， j}，b2)(r=2，s=2)

(ai，b1)∨(aj，b1)=(amin{i， j}，b1)(r=1，s=1)

“∧”:LE×T ×LE×T →LE×T 

(ai，br)∧(aj，bs)=

(ai，b2)∧(aj，b1)=(amax{n-i+1，j}，b1)(r=2，s=1)

(ai，b2)∨(aj，b2)=(amin{i， j}，b2)(r=2，s=2)

(ai，b1)∨(aj，b1)=(amax{i， j}，b1)(r=1，s=1)

定理2 在有界格(LE×T∨，∧，O，I)上定義一元運算 “′”和蘊涵運算“→”，則集合(LE×T，∨，∧，′，→)是一個格蘊涵代數，在這里被稱做語言真值格蘊涵代數，簡記為LE×T。其中“′”和“→”分別為

′:LE×T→LE×T

(ak，bm)′=(ak，b1)′(ak，b2)′=(ak，b2)

(ak，b1)

→:LE×T×LE×T→LE×T

(ai，br)→(aj，bs)=

(a(n-i+j)∧n，b2）(r=2，s=2)

(a(n+i-j)∧n，b2）(r=1，s=1)

(a(n+1)-(2n-i-j+1)∧n，b1）(r=2，s=1)

(a(i+j-1)∧n，b2）(r=1，s=2)

定義5 在語言真值格蘊涵代數LE×T上定義二元運算和如下:(ai，br)，(aj，bs)∈LE×T，(ai，br)(aj，bs)=((ai，br)→(aj，bs)′)′，(ai，br)(aj，bs)=(ai，br)′→(aj，bs)。

定理3 在語言真值格蘊涵代數LE×T中，

(ai，br)，(aj，bs)，(ak，bm)∈LE×T，(ai，br)≤(aj，bs)→(ak，bm)

(ai，br)(aj，bs)≤(ak，bm)。

證明 (ai，br)，(aj，bs)，(ak，bm)∈LE×T，(ai，br)≤(aj，bs)→(ak，bm)(ai，br)→((aj，bs)→(ak，bm))=I((ai，br)→(ak，bm)′→(aj，bs)′)=I((ak，bm)′→(ai，br)→(aj，bs)′)=I((ai，br)→(aj，bs)′)′→(ak，bm)=I

((ai，br)→(aj，bs)′)′≤(ak，bm)(ai，br)（aj，bs)≤(ak，bm)。

2.2 語言真值概念格

定義6 稱(G，M，LE×T，I∧)為語言真值形式背景。其中：G為有限非空對象集；M為有限非空屬性集；LE×T是一個語言真值格蘊涵代數；I∧表示定義在G和M之間的關系，即I∧:G×M→LE×T。

對于有限非空對象集G和屬性集M以及語言真值格蘊涵代數（LE×T，∨，∧，′，→），記LGE×T和LME×T分別為定義在集合G和M上的所有LE×T型子集的集合。

定理4 設（G，M，LE×T，I∧）為語言真值形式背景，LE×T是一個語言真值格蘊涵代數，定義LGE×T和LME×T之間的映射 

A*（m）=∧g∈G(A(g)→(g，m))，B*（m）=∧m∈M(B(m)→(g，m))

則對任意A∈LGE×T，B∈LmE×T，(*，*)是基于語言真值格蘊涵代數的伽羅瓦連接，且對任意A1，A2，A∈LGE×T，B1，B2，B∈LGE×T有如下性質:a）A1A2A*2A*1，B1B2B*2B*1；b）AA**，BB**；c）A*=A***，B*B***；d）(A1∪A2)*=A*1∩A*2，(B1∪B2)*=B*1∩B*2。

證明 對任意對象g∈G， AB*A（g）≤∧m∈M(B(m)→I∧(g，m))

A（g）≤B(m)→I∧(g，m)A（g）→(B(m)→I∧(g，m))=IB（m）→(A(g)→I∧(g，m))=IB（m）≤A(g)→I∧(g，m)B（m）≤∧g∈G(A(g)→I∧(g，m))BA *。

定義7 設(G，M，LE×T，I∧)是語言真值形式背景，記集合L*(G，M，LE×T，I∧)={(A，B)|A*=B，B*=A}，定義(A1，B1)≤(A2，B2)A1A2(or B2B1)。

3 語言真值不確定性推理

根據一般的推理模型，可將已知的語言真值形式概念（A1，B1），(A2，B2)，…，（An，Bn）表示為以下形式：

已知Ai→Bi

…

An→ Bn 

給定A（或B）

求B（或A）

其中，A∈LGE×T，B∈LME×T；i=1，2，…，n。

定義8 對任意A1，A2∈LGE×T，定義A1包含于A2的程度為

π(A1A2)=∧g∈G(A1(g)→A2(g))。

眾所周知，一個集合可以被另一集合從其內部和外部來逼近。按照分析理論的觀點，本文將給出內、外逼近推理規則。

定義9 設（LE×T，∨，∧，′，→）是語言真值格蘊涵代數，(Ai，Bi)∈L*(G，M，LE×T，I∧)，給定A，定義求B的內逼近推理規則為B(m)=∨ni=1(Bi(m)π(AAi))，m∈M；給定B，定義求A的內逼近推理規則為A(g)=∨ni=1(Ai(g)π(BBi))，g∈G。

定理5 設(G，M，LE×T，I∧)為語言真值形式背景，LE×T=（LE×T，∨，∧，′，→）為語言真值格蘊涵代數，對任意A1，A2∈LGE×T，B1，B2∈LME×T，則π(A1A2)≤π(A*2A*1)，

π(B1B2)≤π(B*2B*1)。

證明 由性質A2A**2得

π(A1A2)≤π(A1A**2)=∧g∈G(A1(g)→A**2(g))=∧g∈G(A1(g)→∧g∈G(A*2(g)→I∧（g，m）))=∧g∈G∧g∈G(A1(g)→(A*2(g)→I∧（g，m）))=∧g∈G∧g∈G(A*2(g)→(A1→I∧（g，m）))=∧g∈G(A*2(g)→∧g∈G(A1(g)→I∧（g，m）))=∧g∈G(A*2(g)→A*1(g))=π(A*2A*1)。

同理可證π(B1B2)≤π(B*2B*1)。

定理6 由定義9定義的不確定性推理規則是還原的。

證明 即證明對任意語言真值形式概念(Aj，Bj)∈L(G，M，LE×T，I∧)，當A=Aj時，B=Bj。由定理5可知π(AjAi)≤π(A*iA*j）=π(BiBj)=∧m∈M(Bi(m)→Bj(m))≤Bi(m)→Bj(m)；由定理3可知Bi(m)π(AjAi)≤Bj(m)，所以B(m)=∨ni=1(Bi(m)π(AjAi))=∨ni=1(Bi(m)π(AjAi))=Bj(m)I=Bj(m)。

定義10 設(LE×T，∨，∧，′，→)是語言真值格蘊涵代數，(Ai，Bi)∈L*(G，M，LE×T，I∧)。給定A，定義求B的外逼近推理規則為

B(m)=∧ni=1(Bi(m)π′(AiA))，m∈M；給定B，定義求A的內逼近推理規則為A(g)=∧ni=1(Ai(g)π′(BiB))，g∈G。

定理7 由定義10定義的不確定性推理規則是還原的。

證明 即證明對任意語言真值形式概念（Aj，Bj）∈L(G，M，LE×T，I∧)，當A=Aj時B=Bj。由定理5可知π′(AiAj)≥π′(A*jA*i)=

π′(BjBi)=(∧m∈M(Bj(m)→Bi(m)))′=∨(Bj(m)→Bi(m))′=

∨(Bj(m)B′i(m))≥Bj(m)B′i(m)。由定理3可知Bj(m)≤B′i(m)→π′(AiAj)=π(AiAj)→Bi(m)=π′(AiAj)Bi(m)，所以B(m)=∧ni=1(Bi(m)π′(AiA))=Bj(m)O=Bj(m)。

4 結束語

基于概念格的語言真值不確定性推理實現了概念格與格蘊涵代數的結合，這不僅在理論方面對概念格的代數性質進行了深入的研究，擴充了概念格結構的格節點涵義，而且也為語言真值不確定性推理提供了可靠的數學工具。因為概念格的完備結構是進行不確定性推理的必要前提，所以關于格蘊涵代數下概念格的構造算法以及關于推理規則完備性和可靠性的驗證將是下一步工作研究的重點。

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