函數概念的發展史

數學的發展史表明，重要的數學概念的產生和發展，對數學的發展起著不可估量的作用，有些重要的數學概念，對數學分支的產生更起著奠基性的作用。函數就是這樣的重要概念。

最早提出函數(function)概念的，是德國數學家萊布尼茨(1646-1716)，最初萊布尼茨用“函數”一詞表示冪，如x²，x³，x⁴等都叫函數，以后，他又用函數表示直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。

1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函數定義為：由某個變量及任意的一個常數結合而成的數量，這個定義的意思是凡變量x和常量構成的式子都叫做x的函數，貝努利其實強調的是函數要用公式來表示。

后來，一些數學家覺得不應該把函數概念局限在“能用公式來表示”上，只要一些變量變化，另一些變量能隨之而變化就可以了，至于這些變量的關系是否能用公式來表示，不應作為判別函數的標準。

1755年，瑞士數學家歐拉把函數定義為：如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當后面這些變量變化時，前面這些變量也隨著變化，就把前面的變量稱為后面變量的函數，在歐拉的定義中，就不再強調函數要用公式表示了，由于函數不一定要用公式來表示，歐拉就把畫在坐標系中的曲線也叫做函數，他認為：“函數就是隨意畫出的一條曲線?！?/p>

當時有些數學家對于不用公式來表示函數感到很不習慣，甚至抱懷疑態度，他們把能用公式表示的函數叫“真函數”，把不能用公式表示的函數叫“假函數”。1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本中函數定義的函數定義!在某些變數間存在著一定的關系。當給定其中某一變數的值，其他變數的值隨之而確定時，則將最初的變數叫做自變量，其他各變數叫做函數，在柯西的定義中，首先出現了自變量一詞。

1822年，法國數學家傅里葉發現，某些函數可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數的認識又推進了一個新的層次。

1834年，俄國數學家羅巴切夫斯基進一步提出函數的定義：x的函數是這樣的一個數，它對于每一個x都有確定的值，并且它隨著x一起變化；函數值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。這個定義指出了對應關系(即所說的“條件”)的必要性，利用這個關系，可以求出每一個，的對應值。

1837年，德國數學家狄利克雷認為，怎樣去建立x與y之間的對應關系是無關緊要的，所以他的定義是：如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數，這個定義抓住了函數概念的本質，比前面的定義更有普遍性，為理論研究和實際應用提供了方便。因此，這個定義之后曾被長期使用，依據這個定義，狄利克雷舉了一個例子：對0≤x≤1，當x為有理數時，對應y=1；當x為無理數時，對應y=0，這就是一個函數(也就是著名的狄利克雷函數)，它的圖象很難畫出來。

中文數學書上使用的“函數”一詞是轉譯詞，我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》一書時，把“funetion”譯成了“函數”。

中國古代“函”字與“含”字通用，都有“包含”的意思，李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函數，”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變量，所以“函數”是指公式里含有變量的意思。