無法解出的方程

蔣昕捷

有一次，讀小學五年級的表弟拿來一道選擇題，據說改編自古希臘“代數學之父”丟番圖的墓志銘。

“他生命的1/6是幸福的童年。再活了壽命的1/12，胡須長上了臉。又過去一生的1/7，丟番圖結了婚。再過5年，兒子降臨人世，他幸福無比。可是這孩子的生命只有父親的一半。兒子死后，老頭兒在悲痛中度過4年，終于了卻塵緣……”最后問，“丟番圖活了多大年紀？”

我略加思索，把所求數設為“χ”，列了個一元一次方程，兩分鐘后算出來，老頭兒活了84歲。表弟拿著答案欣然離去。兩天后，他哭喪著臉找我，說“方程法”被老師斥為“最笨解法”。

“聰明解法”是這樣的：既然“1/12”“1/6”“1/7”對應的年齡段必然是整數，那答案就是“12、6、7”中最大互質因子的乘積——“12×7＝84”。老師還說：“傻子才動筆算選擇題?！?/p>

驚嘆于中國學生的應試手段又有了新突破。最近，我讀了《無法解出的方程》才知道，人類自學會結繩記數之后，直到古巴比倫時期（公元前2000年－公元前600年），才學會運用“最笨的”線性方程。當然，方程式的出現并不是要應付考試，而是為了造福人類，幫助人們處理日常問題。

在古巴比倫時代的楔形文字泥板上，記載著許多關于土地分割的問題，比如“1／4的寬加長等于7手（長度單位），長加寬等于10手，那么長和寬是多少”？從文字記載來看，古巴比倫人已經學會把長和寬設為兩個未知數，列出一個二元一次方程組求解。但是這種解法并不能真正解決土地分割的問題，因為其中包含了古代人常犯的一種錯誤——認為一個圖形的面積完全取決于它的周長。

在古希臘，許多人不相信一個圍墻為48視距的斯巴達，其容量可能是周長為50視距的麥加羅城的兩倍。因此直到公元5世紀，某些城邦的官員仍習慣于欺騙他們的公民。他們所用的方法就是把周長較大而面積較小的土地換給別人，獲利的同時還贏得慷慨的美名。

一些歷史學家推測，或許是為了保護民眾不受這些騙子的傷害，盡責的古代數學家們將二次方程及其解法公之于眾。比如在一塊楔形文字泥板上就有這樣的問題，“我從我的正方形面積中減去邊長得870”。即二次方程X2－X＝870。在泥板上，數學家們列出了詳細的解法。

如果說處理面積的問題造就了二次方程，當人們碰到像立方體這樣的體積計算時，三次方程也就應運而生。大約在16世紀上半葉，人們已經會解三次方程，繼而又找到了四次方程的解法。

此后的250年，求五次方程的公式解成為數學家們鉆研的一個中心課題。但所有的努力都以失敗告終，包括被譽為“數學王子”的高斯，也只是證明了五次方程必然有5個解。但是這些解能通過一個公式找到嗎？高斯并沒有回答這個問題，五次方程也因此被稱為“無法解出的方程”。

這里所說的“解不出”，不是指方程無解，而是指這個解不能通過代數運算（即加、減、乘、除）和開方得到。在高斯之后，挪威數學家阿貝爾、法國數學家伽羅瓦，以及一些同齡的青年才俊，如后來成為大數學家的雅可比，都曾經嘗試過找出公式解。阿貝爾還一度認為自己已經成功，不過，后來他們都認識到其中出現了錯誤。

于是，阿貝爾開始想，有沒有可能一般五次方程沒有根式解？后來，阿貝爾證明了這一點，伽羅瓦則更進一步加以證明，同時創立了群論以及現在通稱的伽羅瓦理論。如今，作為解五次方程得到的“副產品”，群論被應用于物理領域，更多的時候則被用來研究宇宙中的對稱法則。

當然，方程式本身并沒有那么玄乎，普通讀者也可從中獲益。比如群論中最淺顯的置換理論可以幫助你“挑一輛合適的二手車”，或是從“4位候選者中找出真正適合結婚的對象”。

也許，在這樣的生活瑣事中，方程式更多地體現出它本來的意義。據說愛因斯坦看到原子彈爆炸帶來的災難時，想起了自己提出的質能方程。他痛心疾首地寫道：“我們的思想創造應該是人類的福祉而非災禍，在你的方程式中永遠不要忘記這一點?！?/p>

（李秀玉摘自《中國青年報》2008年11月12日，Getty Images供圖）