揭開鏡反數的神秘面紗

還記得《尋找那些美麗的數》嗎?(詳見2009年7／8期)我們提到回文數中有兩組四位數1089和9801，2178和8712，我們不僅稱它們是“倍回文數”，還可以把它們叫做互為鏡反數。那什么是鏡反數呢?

在對聯中，有一類文字特別有趣，它可以回讀“書讀苦處閑心少，少心閑處苦讀書”。而在數學中，我們把1089和9801具有這種對稱格式的兩個數叫做互為鏡反數(有時也稱一個數是另一個數的逆序數或反序數)。如49與94、465與564、8326與6238。我們這里研究的鏡反數可以看作是將偶數位回文數在中問分成兩半得到的，所有的回文數的鏡反數都是它本身。

互為鏡反數的兩數差一定能被9、99、999、9999整除。如472-274=198=99×2。

許多互為鏡反數的數具有特殊的關系：如：2178×4=8712，1089×9=9801，更有趣的是此數中不論插進多少個9，具有同樣的關系，如2199978×4=8799912，1099989×4=9899901。

再如：12與21不僅互為鏡反數，且12²=144與21=441也互為鏡反數，我們把12與21這類鏡反數叫做互為平方鏡反數。13和31也是互為平方鏡反數。那么，除了以上列舉的這些平方鏡反數以外，還有哪些平方鏡反數?這些平方鏡反數有哪些共同特征呢?

對于任何n位數，都存在平方鏡反數。我們通過計算歸納如下：

兩位數中共有6個平方鏡反數11，12，13，21，22，31。

三位數中有15個平方鏡反數：101，102，103，111，112，113，121，122，201，202，211，212，221，301，311。

四位數中共有39個平方鏡反數：1001，1002，1003，1011，1012，1013，1021，1022，1031，1101，1102，1103，1111，1112，1113，1121，1122，1201，1202，1211，1212，1301，

2001，2002，2011，2012，2021，2022，2101，2102，2111，2121，2201，2202，2211，3001，3011，3101，3111。

五位數中共有91個平方鏡反數10001，10011，10012，10013，10101，10102，10103，10111，10112，0113，10121，11003，11001，11011，11012，11013，11101，11102，11103，11111，11112，1113，11121，11122，11123，12202，13001，20001，20011，20012，20101，20102，20112，20121，20122，21001，21011，21101，21102，22001，22011，22101…

六位數中……七位數中

對于n位自然數，若是平方鏡反數，我們可以看到這些平方鏡反數的數值是由0，1，2，3組成的。我們在上面發現的平方鏡反數中間插入任意多個0，都可以得到更高位的平方鏡反數。

立方鏡反數：如：

1011³=1033364331，

1334633301=1101³

鏡反數等式：如144×441=252×252：156×651=273×372168×861=294×492

鏡反數等式中又存在這樣的特殊關系，請看下面的情形：

144×441=252×252，1+4+4=2+5+2。

156×651=273×372，1+5+6=2+7+3。

1586×6851=3782×2873，1+5+8+6=3+7+8+2。

所有的例子表明了這種等式的奇妙性。我們在贊嘆的同時，可以動腦子想想，它是否可以獲得證明呢?

想一想

把41和107這兩個數同時乘以一位數3、6、9，如下：

41×3=123 107×3=321

41×6=246 107×6=642

41×9=369 107×9=963

它們的積正好互為鏡反數，這樣的數字還有嗎?你能寫出幾個來(同樣乘以3、6、9)?

(參考答案)

有三組34與67，44與77，71與104。