常見圓錐曲線系方程及其應用

江蘇泰州中學附屬初中 225300

摘要：本文研究和探討了共離心率的橢圓系方程和共漸近線的雙曲線系方程的兩個重要性質在解題中的應用.

關鍵詞：共離心率；共漸近線；橢圓系方程；雙曲線系方程

[#8681;]共離心率的橢圓系方程

性質1橢圓C是和橢圓+=1（a>b>0）有相同的離心率、焦點也在x軸上、中心也為原點的橢圓#8660;橢圓C的方程具有+=λ（a>b>0，λ>0）的形式.

證明一方面，設橢圓+=1和橢圓C：+=1（λ>0）的離心率分別為e和e′，則e=，e′==，所以e=e′.故橢圓+=1和橢圓C：+=1（λ>0）有相同的離心率（顯然橢圓C：+=1（λ>0）是焦點在x軸上、中心為原點的橢圓）.

另一方面，設橢圓C：+=1（a1>b1>0）與橢圓+=1離心率相同，則=，可推出=，則#8707;λ>0，使a1=a，b1=b.

例1求和橢圓+y2=1有相同的離心率，且與直線3x+2y－16=0相切、焦點在x軸上、中心為原點的橢圓方程.

解法1設所求橢圓的方程為+y2=λ（λ>0），因為它和直線3x+2y－16=0相切，故可由方程組

x2+4y2=4λ，

3x+2y－16=0

消去x，整理得

16y2－16y+64－9λ=0，

其根的判別式Δ=（-16）2－4×16×（64－9λ）=0，解得λ=4.

故所求橢圓的方程為+y2=4，即+=1.

解法2設所求橢圓的方程為+y2=λ（λ>0）.

設它和直線3x+2y－16=0相切的切點為（x1，y1），則切線方程也為+y1y=λ，所以==，所以x1=λ，y1=λ，代人所求橢圓的方程中，化簡得4λ=λ2，又因為λ>0，所以λ=4.

所以所求橢圓的方程為+=1.

解法3設所求橢圓的方程為+y2=λ（λ>0），即

2+

2=1，

故可設切點坐標為（2cosφ，sinφ），

所以切線方程為+sinφ·y=λ，

即cosφ·x+2sinφ·y=2.

因為它和直線3x+2y－16=0重合，

所以==，

所以==，

所以=，所以λ=4.

所以所求橢圓的方程為+=1.

點評我們知道，對于中心為原點的圓x2+y2=r2，過其上一點（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2. 實際上，對于中心為原點的橢圓+=1（a>0，b>0）亦有類似的結論.

推論1橢圓C是和橢圓+=1（a>0，b>0）有相同的離心率、焦點在y軸上、中心也為原點的橢圓#8660;橢圓C的方程具有+=λ（a>b>0，λ>0）的形式.

[#8681;]共漸近線的雙曲線系方程

性質2雙曲線C是……