新混沌系統與變形蔡氏電路系統的異結構同步

郭玉祥　吳然超

摘 要：研究一個新的混沌系統與變形蔡氏電路系統的異結構同步問題。基于Lyapunov穩定性理論，分步構造Lyapunov函數，并在響應系統中采用設計單個非線性控制器的方式，實現了這兩個不同混沌系統之間的異結構同步，并證明誤差變量隨時間演變時是逐漸趨于零的。數值模擬驗證了這種方法的可行性和有效性，所設計的控制器具有可操作性強，同步效果好，易于推廣等優點。

關鍵詞：新混沌系統；變形蔡氏電路系統；混沌同步；Lyapunov函數

中圖分類號：TN918文獻標識碼：B

文章編號：1004 373X(2009)02 079 03

Synchronization of New Chaotic System

and Modified Chua′s Circuit System with Different Structure

GUO Yuxiang,WU Ranchao

(School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei,230039,China)

Abstract：Synchronization of new chaotic system and modified Chua′s circuit system with different structure is studied.The Lyapunov function is deduced based on the Lyapunov stabilization theory,a nonlinear controller is designed to realize the synchronization between chaotic systems with different structure.Conclusion about the error variable approaching to zero smoothly and quickly is also testified with the evolution of the time.Numerical simulations prove that the approach is effective and feasible.The designed controller processes the merits of highly operating,getting better results on synchronization and generalizing easily.

Keywords：new chaotic system;modified Chua′s circuit system;chaotic synchronization;Lyapunov function

0 引 言

近年來，混沌及其應用是非線性科學研究領域中的一個熱門課題。由于混沌系統有著復雜的動力學行為，且對初值的敏感性和長時間的不可預測性，所以混沌的控制與同步就成了研究混沌應用的重要環節。自20世紀90年代初Pecora和Carrol［1］首次提出混沌同步以來，人們隨后也提出了各種不同的混沌同步方法；如自適應同步、脈沖同步、混合同步、耦合同步等［2－9］。在此針對一類新混沌系統［10］，用變形蔡氏電路系統嚴格地跟蹤這個新系統，根據Lyapunov穩定性理論，分步構造出Lyapunov函數［9］，使得誤差變量方程漸近穩定，從而使驅動系統和響應系統在結構不同和參數失配的前提下達到了完全同步。數值仿真驗證了該方法的可行性和有效性，進一步推廣了混沌同步在非線性科學領域中的應用。

1 系統模型描述

文獻［10］提出一個新的三維混沌系統，其動力學方程為:

1=a(x3－x1)，

2=bx1－dx21

3=kx1x2－cx2－gx3(1)

顯然，該系統僅存在兩個非線性項。文獻［10］利用理論推導、數值仿真、Laypunov指數分析了它的基本動力學特性，驗證了系統豐富的混沌特性，該系統對于混沌在信息加密中具有重要的應用價值。當a=8，b=40，c=10/3，d=1，g=4，k=1時，該系統的混沌吸引子如圖1所示。

變形蔡氏電路混沌系統［11］為:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］

2=y1－y2+y3

3=－b1y2(2)

當a1=10，b1=100/7時，系統的混沌吸引子如圖2所示。下面將討論這兩類系統之間的同步問題。

2 非線性控制器的設計

設系統（1）為驅動系統，受控的變形蔡式電路系統為響應系統:

1=a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)

2=y1－y2+y3，

3=－b1y2(3)

在系統（3）中引進單個控制器u(t)，當u(t)未作用時，兩系統隨時間變化的軌跡各不相同，即它們屬于異結構混沌系統。

圖1 系統的混沌吸引子（一）

圖2 系統的混沌吸引子（二）

定理對于混沌系統（1）和（2），若控制器結構為:

u(t)=－（1/b1），b1＞0

則兩系統同步。

式中，e1,e2是誤差變量；Ω(t)是關于系統狀態變量的多項式。

證明 引入誤差變量e3，并令e3=y3－x3。由式（1）和式（2）可以得到:

3=－b1y2－kx1x2+cx2+gx3

分步構造Lyapunov函數，先構造如下形式:

V3=（1/2）e23

則:

3=e33=－e23+e3(e3－b1y2－kx1x2+cx2+gx3)

令:

e2=b1y2－k1

其中:

k1=e3－kx1x2+cx2+gx3

則:

2=b1(y1+y3)+k(1－g－a)x1x2－cbx1－

c(1－g)x2－g(1－g)x3+akx2x3+

(kb+cd)x21－kdx31

構造第二部分Lyapunov函數 V2=V3+（1/2）e22，則:

2=－e22－e23+e2(b1y2－k1－e3+2)

=－e22－e23+e2［b1(y1+y2+y3)－2y3+

2x3+k(2－g－a)x1x2－cbx1－c(2－g)x2－

g(2－g)x3+akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

令e1=b1y1－k2，其中:

k2=－［b1(y2+y3)－2y3+2x3+k(2－g－a)·

x1x2－cbx1－c(2－g)x2－g(2－g)x3+

akx2x3+(kb+cd)x21－kdx31］

則:

1=b1{a1［y2－(2y31－y1)/7］+u(t)}－2

=b1u(t)+Ω(t)

其中:

Ω(t)=a1b1［y2－(2y31－y1)/7］－2=

［a1b1－b1(b1－1)］y2－（1/7）a1b1(2y31－y1)+

b1(y1+y3)+［2－g(2－g)+akx2］(kx1x2-

cx2－gx3)+［ak(2－a－g)x2－abc+

2a(kb+cd)x1－3kdax21］(x3－x1)+

［k(2－a－g)x1－c(2－g)+akx3］·

(bx1－dx21)

構造Lyapunov函數 V1=V2+（1/2）e21，則:

1=2+e11=－e21－e22－e23+

e1

對于響應系統式（3），當同步控制器形式滿足:

u(t)=－（1/b1），b1＞0

就有 1=－e21－e22－e23≤0。根據Lyapunov穩定性理論［12］，兩個系統達到混沌同步，即:

limt→∞e璱(t)=0； i=1,2,3

其中:

e1=b1y1－k2，e2=b1y2－k1，e3=y3－x3

下面通過數值模擬驗證此方法的有效性。利用Matlab編程進行仿真，選取參數:

(a,b,c,d,g,k)=(8,40,10/3,1,4,1)，

(a1,b1)=(10,100/7)

初始值:

(x1(0),x2(0),x3(0))=(1,2,3)，

(y1(0),y2(0),y3(0))=(0.1,0,0)

圖3給出了系統（1）和（3）的狀態變量的誤差曲線；圖4給出了驅動系統和響應系統的狀態變量的同步過程。從圖中可以看出誤差變量隨時間的推移逐漸趨于零值，驅動系統和響應系統在短時間內很快完全達到同步，另外，還可以看出這兩個系統能否達到同步與系統的初始值選取無關，僅需取定的初始值能使系統處于混沌狀態即可。

圖3 誤差e1(t),e2(t),e3(t)隨時間的演化曲線

圖4 同步是狀態變量隨時間的演化曲線

3 結 語

通過設計單個非線性控制器的方式，實現了一個新混沌系統與變形蔡式電路系統之間的異結構同步，并給出了控制器的設計過程。理論驗證和數值仿真說明了該方法的可行性和有效性，進一步推廣了混沌的應用。這種混沌同步的方法，可以應用于混沌遮掩和混沌參數調制保密通信。

參考文獻

［1］Pecora L M,Carroll T L.Synchronization in Chaotic Systems［J］.Physical Review Letters,1990,64(8):821－823.

［2］Chen X Y,Lu J F.Adaptive Synchronization of Different Chaotic Systems with Fully Unknown Parameters［J］.Physics Letters A,2007,364(2):123－128.

［3］Chen D L,Sun J T,Huang C S.Implusive Control and Synchronization of General Chaotic Systems［J］.Chaos,Solitons & Fractals,2006,28(1):213－218.

［4］Xie Q X,Chen G R,Bollt E M.Hybrid Chaos Synchronization and Its Application in Information Processing［J］.Mathematical and Computer Modelling,2002,35(1－2):145－163.

［5］LV J,Zhou T,Zhang S.Chaos Synchronization between Linearly Coupled Chaotic System ［J］.Chaos,Solitons & Fractals,2002,14(4):529－541.

［6］LV Ling ,Luan Ling ,Guo Zhian.Synchronization of Chaotic Systems with Different Orders［J］.Chinese Physics,2007,16(2):001－006.

［7］Lu J G,Xi Y G,Wang X F.Global Synchronization of a Class of Chaotic System with a Scalar Transmitted Signal ［J］.Int.Bifur.Chaos,2004,14(4):1 431－1 437.

［8］張成芬,高金峰,徐磊.分數階Liu系統與分數階統一系統中的混沌現象及二者的異結構同步［J］.物理學報,2007,56(9):5 124－5 130.

［9］馮立軍,谷德橋.異結構不確定混沌系統的同步控制與參數識別［J］.應用光學,2008,29(1):156－159.

［10］劉凌,蘇燕辰,劉崇新.一個新混沌系統及其電路仿真實驗［J］.物理學報,2006,55(8):3 933－3 937.

［11］Yan J J,Lin J S,Liao T L.Synchronization of a Modified Chua′s Circuit System via Adaptive Sliding Mode Control［J］.Chaos,Solitons﹠Fractals,2008,36(1):45－52.

［12］呂翎.非線形動力學與混沌［M］.大連:大連出版社,2000.

作者簡介 郭玉祥 男，1983年出生，安徽舒城人，碩士研究生。研究方向為動力系統混沌理論及其在保密通信中的應用。