麥粒的傳說

陳　云

這是印度的一個古老傳說。舍罕王打算重賞象棋發明人——宰相西薩·班·達依爾。這位聰明的大臣的胃口看來并不大，他跪在國王面前說：“陛下，請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子，在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，就這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下，把這樣擺滿棋盤64格的麥粒，都賞給您的仆人吧！”

“愛卿，你所求的并不多啊。”國王說道，心里為自己不致破費太多而暗喜。“你當然會如愿以償的。”國王命令如數付給達依爾。

計數麥粒的工作開始了，第一格內放１粒，第二格內放２粒，第三格內放4粒……還沒有到第二十格，一袋麥子已經空了。一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數一格接一格飛快增長著，國王很快就看出，即便拿全印度的糧食，也兌現不了他對達依爾的諾言。

原來，把64格里的麥粒數依次記下來，就是:1，2，2×2，2×2×2，2×2×2×2……一直到把2乘上63次。用數學方法求得它的和是多少呢？是18446744073709551615。這些麥子究竟有多少？打個比方，如果造一個倉庫來放這些麥子，倉庫高4米，寬10米，那么倉庫的長度就等于地球到太陽的距離的兩倍。而要生產這么多的麥子，全世界要兩千年。盡管印度舍罕王非常富有，但要這樣多的麥子他是怎么也拿不出來的。這么一來，舍罕王就欠了宰相好大一筆債。

正當國王一籌莫展之際，王太子的數學教師知道了這件事，他笑著對國王說:“陛下，這個問題很簡單啊，就像1+1=2一樣容易，您怎么會被它難倒？”國王大怒:“難道你要我把全世界兩千年產的小麥都給他？”年輕的教師說:“沒有必要啊，陛下。其實，您只要讓宰相大人到糧倉去，自己數出那些麥子就可以了。假如宰相大人一秒鐘數一粒，數完這些麥子所需要的時間，大約是5800億年（大家可以自己用計算器算一下！）。就算宰相大人日夜不停地數，數到他自己魂歸極樂，也只是數出了那些麥粒中極小的一部分。這樣的話，就不是陛下無法支付賞賜，而是宰相大人自己沒有能力取走賞賜。”國王恍然大悟，當下就召來宰相，將教師的方法告訴了他。

西薩·班·達依爾沉思片刻后笑道:“陛下啊，您的智慧超過了我，那些賞賜……我也只好不要了！”當然，最后宰相還是獲得了很多賞賜。

大知識

達依爾索要的谷子數量的計算方法構成了一個等比數列。如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，而這個常數叫做等比數列的公比。

思維鏈接

達依爾索要的谷子數量的計算可以使用等比數列求和公式，但需要套用公式進行大量的計算。我們如果留意到這道題中間的公比是2的話，就有一個公式可以用:1+2+22+…+2n=2n+1-1。所以他索要的谷子數就是264-1，這是一個相當大的數哦。

（責任編輯:周巧娟）