從“兩點(diǎn)之間，線段最短”談數(shù)學(xué)探究課的選材

呂志林

數(shù)學(xué)探究教學(xué)容易形成學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的傾向，使學(xué)習(xí)過程不再是一種負(fù)擔(dān)，而是一種精神解放。這種教學(xué)方法的有效使用，可促使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，形成遷移能力，并最終養(yǎng)成勇于創(chuàng)造的態(tài)度。但是探究教學(xué)要求教師對(duì)所教內(nèi)容作出較好的加工和組織，否則就難以取得好的效果。不是任何內(nèi)容都能有效地運(yùn)用探究教學(xué)，應(yīng)把握好時(shí)機(jī)，精選出一些富有挑戰(zhàn)性，能激發(fā)起學(xué)生探究興趣，且可使學(xué)生在探究之后能獲得成就感的數(shù)學(xué)材料來組織探究式的課堂教學(xué)。要立足教材，并對(duì)教材進(jìn)行剖析和重新組織，用聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)去研究各知識(shí)點(diǎn)之間的轉(zhuǎn)化，展示給學(xué)生一個(gè)動(dòng)態(tài)的“知識(shí)生長”過程，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展。

探究問題：以“幾何公理：兩點(diǎn)之間線段最短”為例

探究1如圖1所示，一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B，怎樣爬行路線最短?如果要爬行到頂點(diǎn)C呢？說出你的理由。

探究2如圖2所示，一圓錐的底面直徑為2，母線長為4，一只小螞蟻從該圓錐底面邊緣一點(diǎn)A出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長是多少？

探究3如圖3所示，在∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，現(xiàn)要在OM，ON上各取一點(diǎn)A、B，使△PAB的周長最小，請(qǐng)確定點(diǎn)AB的位置。

探究4如圖4所示，小明為了測(cè)量一高樓EF的高，在距F點(diǎn)20 m的A處放了一個(gè)平面鏡，小明沿著FA后退到了B點(diǎn)，正好在鏡中看到樓頂E點(diǎn)，若AB=1.5 m，小明的眼睛離地面的高度為1.6 m，請(qǐng)你幫助小明算一算樓房的高度。

如何進(jìn)行數(shù)學(xué)探究課的選材

選擇能夠激發(fā)探究興趣的材料螞蟻運(yùn)動(dòng)路線的設(shè)計(jì)選擇、生活中實(shí)際問題等這些學(xué)生似乎熟悉但又不清楚、不能立即解決的問題，會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的求知欲望而去積極思考。因此，教師要善于將那些枯燥、抽象的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)成若干有趣、誘人且易于接受的問題，使學(xué)生在對(duì)這些問題的積極思維中去品嘗學(xué)習(xí)的樂趣。

選擇適宜學(xué)生探究的材料第一，探究式教學(xué)不等同于真正意義上的科學(xué)探究，探究的內(nèi)容不能過于復(fù)雜，探究的時(shí)間不能太長，每一次探究中，一般只含一個(gè)中心問題，進(jìn)行一次探究循環(huán)過程即可解決的問題。其二，難度方面，數(shù)學(xué)探究式教學(xué)內(nèi)容要在學(xué)生認(rèn)知水平和思維發(fā)展水平之內(nèi)選取或在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”中選取，探究內(nèi)容對(duì)知識(shí)和能力的要求應(yīng)與學(xué)生的實(shí)際情況比較接近。只有那種能激發(fā)學(xué)生思維處于跳一跳狀態(tài)的探究內(nèi)容，才適合學(xué)生的發(fā)展，才能有利于創(chuàng)造性思維的訓(xùn)練和創(chuàng)新意識(shí)的形成。探究目標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求太低，學(xué)生的探究只是頭腦中已有知識(shí)的簡單提取和應(yīng)用，會(huì)使學(xué)生覺得乏味或產(chǎn)生驕傲自滿的情緒；如果探究目標(biāo)對(duì)學(xué)生的要求太高，與學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)相差太遠(yuǎn)，又會(huì)使學(xué)生覺得茫然甚至導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生自卑心理。因此，數(shù)學(xué)探究式教學(xué)內(nèi)容的適宜程度對(duì)探究式教學(xué)能否取得良好成效起著決定性作用。通過以上探究學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，但是對(duì)此類問題又沒有形成系統(tǒng)認(rèn)知，因此，進(jìn)行這一探究，非常適合學(xué)生的發(fā)展。

選擇縱向聯(lián)系較強(qiáng)的材料數(shù)學(xué)具有極強(qiáng)的邏輯嚴(yán)密性，這一特點(diǎn)決定了數(shù)學(xué)問題解決有其獨(dú)特的思維方法，一種數(shù)學(xué)思想或方法往往會(huì)滲透到不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容中去，這就使這些不同的數(shù)學(xué)內(nèi)容之間以這種思想或方法為紐帶建立了縱向聯(lián)系，而在這種縱向聯(lián)系中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美的特征，因而掌握數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索就具有極大的魅力，而這種縱向聯(lián)系也需要教師帶領(lǐng)學(xué)生去進(jìn)行揭示、探索，因而事先去挖掘這些聯(lián)系，就成為探究選材的一個(gè)視角。以上探究讓學(xué)生在探究中體會(huì)數(shù)學(xué)的“化歸轉(zhuǎn)化思想”，將軸對(duì)稱等知識(shí)用兩點(diǎn)之間線段最短的觀點(diǎn)來解決。學(xué)生的學(xué)習(xí)變成一種“自由的學(xué)習(xí)”，既掌握思想而又免于機(jī)械記憶之苦，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，促使學(xué)生形成探究意識(shí)，最終以發(fā)現(xiàn)的方式達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)。

選擇具有較強(qiáng)橫向聯(lián)系的材料數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，在中學(xué)課程中與其它許多學(xué)科具有很大的關(guān)聯(lián)性。這種關(guān)聯(lián)性即我們所說的“橫向聯(lián)系”，深刻挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容與相關(guān)學(xué)科的這種橫向聯(lián)系，選擇聯(lián)系較強(qiáng)的內(nèi)容，設(shè)置探究情境，呈現(xiàn)給學(xué)生，就會(huì)引起他們極大的探究熱情，而且在探究這種材料的同時(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法也能有較深刻的認(rèn)識(shí)，學(xué)生在提高探究能力的同時(shí)，還可對(duì)相關(guān)學(xué)科的研究與學(xué)習(xí)也產(chǎn)生促進(jìn)作用，有效地避免偏科現(xiàn)象，真正起到數(shù)學(xué)的工具性學(xué)科的作用，但這些材料一般是隱藏在數(shù)學(xué)材料之中，因而需要教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)做認(rèn)真的挖掘和鉆研工作。

“兩點(diǎn)之間，線段最短”，看似簡單，卻與物理學(xué)中的光學(xué)現(xiàn)象（光線傳播時(shí)走最短路線、光的反射規(guī)律、平面鏡成像規(guī)律）發(fā)生聯(lián)系。探究4就是基于這一點(diǎn)從光學(xué)角度的設(shè)計(jì)。學(xué)生體會(huì)到聯(lián)系，對(duì)熱情的激發(fā)有不可低估的效果。

隨著數(shù)學(xué)教育理論與實(shí)踐的發(fā)展，數(shù)學(xué)探究教學(xué)這一反映現(xiàn)代教育特點(diǎn)的教學(xué)方法正倍受重視，也取得了長足的發(fā)展，在選材加工方面的要求當(dāng)然也不止本文所述的這些，還有待于進(jìn)行更進(jìn)一步的研究。

（作者單位：山東省微山縣張樓鄉(xiāng)第一中學(xué)）