信息技術環境下的數學評價

胡耀華

【摘要】信息時代的課程和評價都在發生深刻的變化。信息技術環境下的評價是怎樣的？與傳統的評價考試有些什么不同？文章介紹了在圖形計算器環境下的國外大學入學數學考試的背景、計算器類型、試題特點等，并由此討論了對我國計算器的使用所帶來的思考和啟示。

【關鍵詞】圖形計算器；評價；課程整合

【中圖分類號】G420 【文獻標識碼】A 【論文編號】1009—8097（2009）05—0037—04

信息技術與課程整合已成為教育改革中的一個亮點。就數學學科而言，各類信息技術已經給數學教學以及課程目標帶來了很大的改變。那么，對于課程的另一個重要組成部分——課程評價，信息技術又會帶來怎樣的影響？信息技術是如何與評價整合的呢？這些是我們隨之要關注的問題。因此，本文介紹了一類信息技術——圖形計算器在國外大學入學數學考試中的使用情況以及技術環境下的命題特點，希望這些能給今后研究或實踐信息技術環境下的數學學科評價提供一個參考。

圖形計算器是計算器家族的“掌門人”，它由于小巧的體積，強大的功能和低廉的價格（相對于計算機及其軟件），正成為學習數學和科學的一種強有力工具，受到了越來越多的教師和學生的歡迎，尤其在數學教學中發揮的作用已大有超越計算機之勢?，F在，已有相當多的國家在數學課程標準和數學教材以及大學入學考試中允許使用圖形計算器。

一 圖形計算器在國外考試中的使用情況

1 概況

1985年底，卡西歐公司生產出了世界上第一臺圖形計算器，此后，隨著圖形計算器技術的不斷發展以及在數學教學中的廣泛使用，它已經廣泛地出現在美國、澳大利亞、加拿大、新加坡、英國、法國、丹麥、瑞典、盧森堡、荷蘭等十幾個國家的數學教材和大學入學考試中。下表列出了其中幾個國家的有關信息。

需要說明的是，有些考試是分模塊進行的，每一個模塊的考試內容和要求都不一樣，并不是每個模塊都允許使用圖形計算器，如澳大利亞維多利亞省的VCE數學考試，除表格中列舉的模塊是可以使用圖形計算器的，其余的模塊，如數學方法（CAS）1、數學方法1、專業數學1等就不允許使用任何類型的計算器。同時，為了公平和促進技術發展，允許使用的圖形計算器有很多生產商的品牌，本表中“計算器類型”列舉的是一些常用類型或者是在允許使用的計算器中功能較強的型號。還需要指出的是，除了數學學科之外，其他一些學科在考試中也允許使用圖形計算器，如美國的AP物理和化學考試。

2 圖形計算器的使用背景

除了考試之外，圖形計算器在這些國家的的教和學中的使用情況又如何呢？下面我們就這方面進行簡單介紹。

● 美國：美國全國數學教師協會（NCTM）在2002年建議將計算器全面整合到各年級的數學課程中去，在有些州的數學課程標準中，明確要求教師在教學中使用圖形計算器，并且鼓勵學生使用，部分教學內容必須圖形計算器參與完成。有些州的九、十年級的學生圖形計算器的配置率甚至達到了100%。十年前考試中使用科學計算器的考生還略多于使用圖形計算器的考生，但如今絕大多數學生都會在考試中選擇使用圖形計算器。應該說，美國是圖形計算器普及率最高的國家之一。

● 英國：英國數學課程的一個顯著特色就是數學應用，要求學生學會使用恰當的技術工具來解決現實世界的數學問題，其2001年推出的高中數學課程標準鼓勵在教和學中合理使用圖形計算器，教材中也加入了許多使用圖形計算器的課例。在初中的ICT（信息與通信技術）課程中，學生就要開始學習圖形計算器的使用。

● 新加坡：從2002年開始的GCE—A高中數學考試就允許使用圖形計算器。從2006年起，又將高中數學分為新的三級課程：H1（Higher1）級、H2級、H3級。在每級的課程大綱和相應的教材中都有圖形計算器的使用。

● 澳大利亞：已經把圖形計算器整合進教材十幾年了。各省在考試中使用圖形計算器的寬度和廣度各有不同。維多利亞省和南澳省允許在高中數學教學和考試中使用圖形計算器。

由此，我們可以看出，這些國家將圖形計算器與數學課程進行了全方位的整合，它已經與課程目標、教學和評價三者緊密結合在一起，這是數學考試允許使用圖形計算器的基礎。信息時代的課程和評價都在發生深刻的變化，當人們把圖形計算器等現代技術引入數學課堂之后，我們原有的教學方式和教學內容受到了強大的沖擊和影響，圖形計算器與數學課程整合的結果就是一些新的課程模式得以產生和出現，圖形計算器已經融入了數學課程并成為其中的一部分，而課程目標和評價方式總是緊密相連的，在這個基礎上，圖形計算器進入考試評價就是理所當然的事。

3 計算器的類型和使用要求

國外的數學考試一般分三種情況：不允許使用任何類型計算器的考試，只允許使用科學計算器的考試以及允許使用圖形計算器的考試。允許使用圖形計算器的考試，一般也允許使用科學計算器，也有的考試允許帶兩臺計算器，一臺圖形計算器和一臺科學計算器。

隨著信息技術的不斷進步，圖形計算器的功能也日趨完善和強大，其種類也越來越多，但是各種考試都對允許使用的圖形計算器的類型作了一定限制，這些考試是基于不同的數學課程和考試目的，因此在考試時允許使用的圖形計算器也表現出一定的差異。

根據計算器的功能，我們把這些圖形計算器大致分為三類：一類是以TI84為代表的具有圖形功能、數值運算能力但不含有CAS系統（計算機代數操作系統，可以編寫程序和作符號運算等）的計算器，允許使用圖形計算器的大學入學考試一般都允許使用這類計算器；第二類是以TI89為代表的功能更強的含有CAS系統的計算器，部分考試允許使用；第三類計算器以TI92-plus和CASIO Classpad 300為代表，允許使用這類圖形計算器的考試比較少，TI92-plus的功能和TI89大致相同，不同的是TI92有類似計算機的字母鍵盤，所以TI92-plus在美國等地的考試中不允許使用，CASIO Classpad 300是一款高端的圖形計算器，有手寫筆以及一些特殊的功能，如它可以求某些遞推數列的通項，在數量和圖形的轉換上也很方便，是最近幾年才出現的新產品。

帶有CAS系統的圖形計算器可以方便地做代數式的化簡、求值、因式分解、解方程、求導、求不定積分，這些功能就是我們通常要求學生掌握的代數基本技能。因此，允許使用CAS系統的考試與傳統考試有所不同，強調對概念的理解和數學應用的考查。允許使用CAS系統的國家，其數學課程和學生學習也都是在CAS環境下的進行的，此時數學課程的目標和教學方法都發生了變化，國外有不少研究結果都認為CAS系統對學生數學學習是有益的[1]，這些研究都支持了CAS在數學學習以及評價中的使用。但也有許多國家對使用CAS系統持謹慎態度，如英國、新加坡的考試還是強調代數的基本技能，因此是不允許使用帶CAS系統的圖形計算器的。

具有CAS的圖形計算器功能更強，但學習和使用也更復雜一些，學生在考試中使用它們會用去更多的時間，而對計算器的熟悉程度將會影響到學生水平的發揮，因此專家還是建議學生使用熟悉的計算器，而不一定是功能最強的計算器。

此外，美國的SAT、AP考試、澳大利亞的VCE考試考前不需要清空計算器的內存，而其余的考試則要求清空內存。

4 圖形計算器環境下試題的特點

圖形計算器進入數學課程之后，不僅影響了教師怎么教和教什么、學生怎么學和學什么，同時也影響了試題的編制。

傳統試題的考察目標在圖形計算器環境下很可能通過按鍵操作就可容易獲得，這樣試題就很難評價出學生的真實水平，試題失去了應有的價值。如TI84-plus這樣的不帶CAS系統的圖形計算器的主要功能是圖形功能，它可以畫出函數圖像、求交點坐標、零點、極值等，因此函數的考查方式需要調整；允許CAS系統的考試還需要對代數問題的考查方式、考查重點加以改變。大部分圖形計算器環境下的考試都需要去考慮這樣的問題：如何盡量避免那些僅考查了學生不動腦筋的按鍵行為，或者僅僅是低層次觀察圖形計算器的圖像就能得到結果的問題。因此命題者在編制考題時使用了這樣的一些策略：如使用證明題；解釋計算器算得的結果；某些題的計算結果要求精確值，近似值則不計算成績；在實際應用問題中解釋數據的現實意義；分析圖形或圖表；字母參數問題等[2][3]。傳統試題通過以上策略的調整和改造，成為在圖形計算器環境下的有效試題。但過去考試中的一些技能性的、算法性的目標不可避免的被削弱，加強的是對概念的理解、數學應用的考查。

另一方面，圖形計算器強大的功能實際上是延伸了學生的解題能力，因此試題的考查范圍也隨之拓展。分析這些國家的考題，會發現一些真實數據的問題和含有復雜運算的問題都得以出現在考題中，學生可以解決一些過去筆算和使用科學計算器所無法解決的問題，在圖形計算器的支持下，有些問題甚至變得很簡單。

國外有學者根據計算器發揮的作用而把數學問題分成了三類：計算器非活動型問題（calculator-inactive）是指那些在解決問題中計算器無用（甚至是不利）的問題；計算器中性問題（calculator-neutral）是指那些雖然計算器可能會在解題中提供一些幫助，但是不用計算器也能解決的問題；第三類是計算器活動型問題（calculator-active）是指必須要使用計算器來解決的問題。[3]

圖形計算器環境下的考試，并非所有的試題都是圖形計算器活動型問題，恰恰相反，一些考試中甚至沒有圖形計算器活動型問題，如SAT推理測試和ACT考試中的每一道題都可以不使用計算器來解決，事實上部分試題最好不使用計算器；當然，這些考試中出現的大多數問題，一般都有多種解決問題的方式，你可以選擇使用圖形計算器或者不使用。不過，隨著圖形計算器在考試中近十年的使用，人們的態度也在發生悄然的轉變，從最初的謹慎到現在的鼓勵和提倡。許多研究者所持的觀點是：在確保對學生基本數學理解和數學能力能真實評價的基礎上，需要設置一些圖形計算器活動型的問題來鼓勵圖形計算器的使用[4]。如美國的AP考試和新加坡的GCE—A考試、澳大利亞的VCE考試等，這些考試中現在都有圖形計算器活動型試題。即使是圖形計算器活動型問題，大多數情況下圖形計算器在解決這些問題中發揮的也是輔助工具的角色，它可以在學生解決問題過程中的某個步驟發揮作用，給學生提供信息，或者驗證解答的結果。對數學問題的正確解決還是依賴于學生對數學的正確理解和數學思維能力。在這些考試中，一般圖形計算器活動型的問題在試題中所占比例并不高，比如2005年澳大利亞VCE數學方法（CAS）2的考試中[5]，圖形計算器活躍的問題不超過10%，而圖形計算器中性的問題占到了50—60%的比例。所以，在這些允許圖形計算器進入的考試中，圖形計算器實際參與解題的比重并不很高。國外有研究表明，考試中得高分的那些學生，并不在于他圖形計算器使用得熟練，而是仍然依賴有較高的數學能力，這說明試題編擬的合理的話，技術對評價產生的消極作用是能被消除的。

從圖形計算器對試題的影響情況我們可以看出，傳統數學課程要求學生掌握的一些技能和方法可能變得不再重要了，取而代之的是要求學生“在恰當的時候會使用現代技術去理解數學和幫助解決問題”，這成了信息時代對學生在數學學習上的新要求。另一方面，技術畢竟不是數學，不能用技術的使用來代替數學的學習，對一些重要的數學概念、數學思想的理解，不僅不能削弱，反而加強了。

二 思考和啟示

從以上國外的情況可以看出，信息技術已經進入考試和評價，而且是一種發展趨勢。這種現象對我們有何啟發？從2001年開始，科學計算器已開始進入我國的義務教育數學課程標準和各地的實驗教科書，各地的中考也陸續允許科學計算器的使用，2006年全國大約有超過三分之一的地區允許計算器進入中考，但2007年起有些地方出現反復[6]。上海在2000年率先允許計算器進入高考，迄今為止也是獨此一家。目前，圖形計算器已在我國的上海、北京、廣州等地的部分學校試點使用，但還未進入課程標準和正式的教材。那么我們在計算器的使用上是否還需加強？如何加強？在借鑒國外這方面經驗和研究成果的同時，我們還需討論如下的一些問題。

1 如何看待計算器類的現代信息技術在數學課程中的使用

盡管科學計算器已在我國的部分初中和高中的數學課程中使用，但關于計算器是否應該引入到中學數學課程中的爭論仍然不絕于耳，在我國，反對之聲主要來自于一線的教師，尤其是初中教師，他們普遍的觀點就是計算器的引入導致學生運算能力的下降。計算器的引入確實有利有弊，但國內和國外的許多研究都證明了計算器的使用是利大于弊的[7]，許多研究表明，在教學中使用像圖形計算器這樣的現代技術能提高學生對數學的好奇心，在代數、微積分、概率統計等方面對學生的學習有明顯的促進作用。計算器（包括圖形計算器）可以幫助學生完成一些在數學中屬于技能性、程序性或比較繁瑣的工作，如數和式的運算、畫函數圖像、數列求值、概率和統計中的數據處理、求回歸函數等。因此，這些傳統的教學內容在技術環境下能否改變要求？就像計算器出現以后，常用對數表、對數的計算功能在中學數學教材中消失了一樣，中學數學中是否還有這樣的內容在圖形計算器環境下或功能日益強大的科學計算器環境下喪失了價值或改變了內涵？這些都需要我們仔細考慮和研究。另一方面，計算器的引入對數學課程是有益的，但并非沒有弊端。如學生過度的依賴計算器，不愿意思考；一些仍需學生掌握的重要數學技能，可能會因為計算器的使用而受到影響等。這些大家擔心的問題如果不能很好解決或者充分考慮的話，那么在數學課程中引入計算器大家仍然是心懷忐忑的。而目前看來，通過適當的方式，如教會學生合理的使用計算器、采用多種評價方式和發揮評價的導向作用、選擇合適的計算器類型等都可以使這些問題在一定程度上得到解決。

2 計算器類的技術如何在課程中整合？

筆者的觀點是計算器與數學課程的整合應該是全方位的，深層次的，不應該僅僅是在教學中應用，更應該進入課標、教材以及評價體系中。

目前我們的“整合”更多的是停留在信息技術對數學教學的幫助上，技術是為現有的課程內容和課程模式服務的?，F代信息技術如此發達，能否讓這些技術對我們數學課程的影響再深入一些呢？就像計算器的使用使得我們對“運算能力”的內涵重新界定一樣，現在的科學型計算器可以求零點，做回歸，有了除四則運算以外更強大的功能，更何況可以畫函數圖像、進行符號代數運算的圖形計算器，我們應該重新考慮數學內容、教學方法和評價策略，解放學生，做到真正意義上的技術與數學課程的整合。

當然，我國大多數地區的學生目前還不能承受圖形計算器昂貴的價格，所以圖形計算器在數學課程中的真正應用還需要假以時日。目前，我們更應該考慮的是科學計算器在數學課程中的應用，這種考慮可以說更符合我們國家的實際情況?？茖W計算器盡管已進入課標和教材，但對計算器的價值還沒有充分開發利用，在評價中的使用還顯得有些瞻前顧后，大部分地區的中考和除上海以外的高考還是不允許使用計算器的。但如果考試中不允許使用計算器，那么教師和學生在教學中使用計算器就會有顧慮、甚至會拒絕，教師會擔心計算器的使用會影響考試成績，而這種擔心是有道理的。教學和評價不一致是不合理的，如果計算器已經成為數學教學中的一部分， 那么計算器也應成為評價中的一個重要方面，這樣教學和評價才是協調的。只有在評價中允許使用計算器，那么技術與課程的整合才能真正落實，借由現代技術來解放學生的目的才能真正實現。

3 計算器進入考試給試題帶來怎樣的變化？是否需要通過考試來倡導計算器的使用？

科學計算器包括未來的圖形計算器如果進入中考和高考，會給我們的試題帶來怎樣的變化？傳統的試題是否還能繼續使用？對于不能使用的試題，如何加以改造？如果我們確定引入計算器是對學生有利的，我們是否需要通過一定的手段來鼓勵計算器的使用，如在不影響數學目標考察的情況下，在考試中增加一定的計算器活動型問題？這些問題都值得我們考慮。國外在這方面有一定的研究，可以供我們參考，而國內近幾年也積累了一些經驗和好的做法，這些都需要加以認真總結和學習。

除了以上這些問題之外，計算器等技術要成功與數學課程整合，面臨的問題還有很多，需要大家更多的關注和思考。而讓計算器進入考試，真正的解放學生，減輕學生負擔，發展學生的創新能力和解決問題的能力，是數學教育的目標。讓現代信息技術幫助學生在數學的世界中遠行！

參考文獻

[1] What Does the Research Say about Achievement of Students Who Use Calculator Technologies and Those Who Do Not?,

[2] Vlasta K V.Exam questions when using CAS for school mathematics teaching. ERIC Document Reproduction Service,1999,No. ED445911.

[3] Beckmann C E,Thompson D R,Senk S L. Assessing Students Understanding of Functions in a Graphing Calculator Environment[J].School Science and Mathematics,1999, 99:51-54.

[4] Michael M. Curriculum and Assessment in an Age of Computer Algebra Systems. ERIC Document Reproduction Service, 2000, No. ED463947.

[5] Mathematical Methods (CAS)1,

[6] 羅強.對蘇州市數學中考再次禁用計算器的反思[J].數學教學,2007,(8):21.

[7] 李旭輝.關于計算器在數學教學中地位與應用的思考[J].數學教學,1999,(4):30-32.