湯母的拼圖

林　革

湯姆是個愛動腦筋的人，他擅長數學解題自在情理之中。不過，要是跟他的鄰居瑪麗比起來，恐怕還要稍遜一籌，因為瑪麗的思維更為敏捷和全面，甚至還會延伸思考，讓人不得不服，至少湯姆是這么認為的。你要是不相信，那就看看前兩天發生在湯姆身上“拼圖”事件的經過吧！

那一天，湯姆在陽臺上翻閱一本名叫《令人意想不到》的趣味數學書，看到這樣一個問題：你能用1～10這10個自然數組成5個不同的乘法算式，并使5個算式相加之和為121嗎？并請思考和總結這道題令人意想不到的地方。湯姆來了興致，放下書開始躺在搖椅上動起了腦筋，只一會兒，湯姆就蹦了起來，在草稿紙上寫出了一個算式：1×6+2×10+3×9+4×7+5×8＝121。

得到答案后，湯姆非常開心，便躺在搖椅上伸起了懶腰，心想這個趣味算題沒多少難度嘛！可轉念一想問題后面的那番話，他又覺得問題并沒有結束，是不是還有什么玄機呢？湯姆開始思考剛才得到的算式，當他掃描到計算結果時，突然發現，121是個特殊的數，它是１１的平方，而11的平方表示的是邊長為１１的正方形面積。類似考慮的話，前面的5個乘法算式表示的是5個長方形的面積，那么這個等式的幾何意義就是：用這5個長方形可以拼成邊長為11的正方形。接下來的問題是：怎么拼圖呢?興奮不已的湯姆立即動手試驗，果然很快就拼出了這樣的正方形（如圖1）。

湯姆非常得意，于是興沖沖來到瑪麗家要露一手。可當他眉飛色舞準備炫耀時，瑪麗卻顯得有些不以為然：“這個問題我也見過，我得出的算式與你不同，是：1×9+2×8+3×6+4×7+5×10=121，而且我早已想到了拼圖的事，瞧，這是我拼成的正方形!”（如圖2）面對瑪麗不假思索給出的另一種答案和拼圖，湯姆目瞪口呆。瑪麗又說：“我經過思考，確認了仍然用這10個數組成5個乘法算式，相加之和還可以等于169，當然也能用這5個長方形拼成一個邊長為13的正方形。你不妨試試。” 湯姆一時被難住了，于是他回到家中反復琢磨，終于得出了正確的結果。想知道湯姆的解答思路嗎?還是讓湯姆告訴你吧：

事實上，因為前提條件不變，所以我們只要把169與121進行比較，可知需要在121的基礎上變化，使之結果再增加169－121＝48即可。有了這個大致的范圍，容易想到先把上面瑪麗寫的算式中的第一個乘式中的9與第二個乘式中的2交換，則這兩個積的結果就增加了（1×2+9×8）－（1×9+2×8）＝74-25＝49，這比預計的48還多1，因此可以考慮變化后面的兩個乘式，使得到的結果比原先結果少1。不難看出，3×６+4×７表示的是６個3和７個4，只要調換６和７，那么得到的3×７+4×６表示的是７個3和６個4，剛好減少1，因此可以寫出符合要求的算式為：1×2+9×8+3×7+4×6+5×10=2+72+21+24+50＝169。有了這個結果，再參考上面的兩個圖形，就不難拼出所求的正方形了（如圖３）。