數學填空題的解題策略

　　摘 要： 填空題是高考數學試卷的兩大題型之一。試題難度居中偏下，主要考查基本概念、基本運算、基礎知識，少數填空題有一定的綜合性，兼有考查數學能力的作用。從近兩年高考試題看，命題者相繼推出了許多題意新穎、構思精巧的新題型，如開放探究型、信息遷移型等，凸顯了對考生能力的考查。填空題的基本特征是方法靈活，答案唯一。解答填空題時要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整。
　　關鍵詞： 高考數學 填空題 解題策略
　　
　　填空題是高考數學試卷的重要題型之一．試題難度居中偏下，主要考查基本概念、基本運算、基礎知識，少數填空題有一定的綜合性，兼有考查數學能力的作用。從近兩年高考試題看，命題者相繼推出了許多題意新穎、構思精巧的新題型，如開放探究型、信息遷移型等，凸顯了對考生能力的考查.填空題的基本特征是方法靈活，答案唯一.填空題不需要考生寫出詳細的解答過程，所以它的解答方法很靈活，只要結果準確就得分.解答填空題時要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整.合情推理、優化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求，在充分理解條件的基礎上，可以采用直接法、數形結合法、特殊化法、等價轉化法、構造等方法處理.
　　一、直接法
　　例1.設復數滿足z（2-3i）=6+4i其中i為虛數單位，則z的模為 ?
　　解法一：（直接計算）
　　∵z====2i
　　∴|z|=2
　　解法二：（注意整體性）
　　∵z===2i
　　∴|z|=2
　　解法三：（運用復數的性質）
　　∵|z||2-3i|=|6+4i|
　　∴|z|=2
　　例2.在銳角三角形ABC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，+=6cosC，則+= ?
　　解：+
　　=+
　　=+c·
　　=
　　∵+=6cosC
　　∴=6·
　　∴a+b-c=c
　　∴+=4.
　　直接法是解填空題常用的基本方法，從例1可以看出，同樣一條計算題，不同的方法計算的繁簡程度差別較大，所需的時間長短不一；從例2可以看出，對一些復雜的計算我們可以先從結論入手，看需要什么條件，然后化簡已知條件，向需要的條件轉化，這樣計算具有目的性，減少計算的盲目性.方法技巧：使用直接法解填空題，要善于透過現象抓本質，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法．
　　二、數形結合法
　　例3.函數f（x）=x+1（x≥0）1（x＜0），則滿足不等式f（1-x）＞f（2x）的x的范圍為 ?
　　解：作出函數圖像（如圖所示）
　　則原不等式轉化為1-x＞01-x＞2x
　　解之得：-1＜x＜-1
　　例4.方程|x-1|=x+k的實根隨k的變化而變化，那么它的實根的個數最多有 個.
　　解：如圖所示，參數k是直線y=x+k在y軸上的截距，通過觀察可知，直線y=x+k與y=|x-1|的公共點的個數可以是0個，1個，2個，3個，4個.并通過計算可知，當k＜-1時，有0個實根；當k=-1時，有1個實根；當-1＜k＜1時，有2個實根；當k=1時，有3個實根，當1＜k＜時，有4個實根；當k=時，有3個實根；當k＞時，有2個實根．綜上所述，可知實根個數最多為4.
　　數形結合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果.方法技巧：求解這類問題的關鍵是明確幾何意義，準確規范地作出相應的圖像，借助于圖形進行直觀分析，并輔之以簡單計算得出結論．
　　三、特殊化法
　　例5.已知橢圓+=1，離心率大小為，若點A、B、M為橢圓上的動點，且A、B關于原點對稱，則直線MA與MB的斜率之積為 ?
　　解：可取A（a，0），B（-a，0），M（0，b），則k·k=·=-=-=e-1=-.
　　例6.已知：A+B=，則= ?
　　解：取A=0，B=，則=.
　　特殊化法是當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果.
　　四、等價轉化法
　　例7.不論k為何實數，直線y=kx+1與曲線x+y-2ax+a-2a-4=0恒有交點，則實數的取值范圍為 ?
　　解：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓（x-a）+y=2a+4的圓心的距離小于或等于，所以-1≤a≤3.
　　例8.函數y=+2的單調遞減區間為 ?
　　解：易知x∈，3，y＞0.因y與y有相同的單調區間，而y=11+4，所以可得結果為，3.
　　等價轉化法方法技巧是通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果．
　　五、構造法
　　例9.已知：兩兩垂直線段PA，PB，PC，長分別為3，4，5，則它們外接球的體積大小為 ?
　　解：構造以PA，PB，PC為棱的長方體，其對角線長為外接球的直徑，
　　∴r==，∴V=r=.
　　例10.函數f（x）=+的值域為 ?
　　解：f（x）=+，則f（x）的取值范圍可看成X軸上點（x，0）到點（-1，1）與（2，-3）的距離和的范圍，由解析幾何知識求得范圍為［5，+∞）。
　　∴f（x）的值域為［5，+∞）.
　　構造法是根據題設條件與結論的特殊性，構造出一些新的數學形式，并借助于它認識和解決問題.用構造法首先應觀察題目，觀察已知（例如代數式）形式上的特點，然后聯想、類比已學過的知識及各種數學結構、數學模型，從而構造幾何、函數、向量等具體數學模型，快速解題.