裁剪面的一類參數變換

楊 勝， 雍俊海

（1. 清華大學軟件學院，北京 100084； 2. 清華大學計算機科學與技術系，北京 100084； 3. 信息系統安全教育部重點實驗室，北京 100084； 4. 信息科學與技術清華大學國家實驗室，北京 100084 5. 第三軍醫大學計算機教研室，重慶 400038）

裁剪面是指定義在參數曲面上的一片單連通區域。作為IGES標準的基本幾何體素之一，裁剪面已被廣泛應用于實體造型和曲面造型系統,參與各種計算[1-4]。裁剪面的計算是實體造型系統的基礎，影響著整個系統的效率和穩定性[5]。

裁剪面的計算，總是受到幾何參數表示誤差和數值計算誤差的影響。目前，參數域曲線一般沒有精確的數學表示，常用線段、折線或自由曲線等近似表示。根據曲面上的點計算其對應的參數(又稱為反求參數)，數值方法通常存在計算誤差；同時，曲面上的點與其參數的對應關系存在一對多的情形（如封閉曲面縫合邊上的點或極點，對應多個參數值）。這些因素使得建立或修改裁剪面的拓撲關系相當困難，相應的文獻也非常少。因此，尋找穩定處理裁剪面的算法，顯得特別重要。

正如文獻[6]所指出，許多針對參數曲面的算法，并不適用于裁剪面。對于不同參數表示的互相轉換問題，參數曲面著重于重新參數化[7-8]，建立重新參數化公式即可；但裁剪面的表示轉換還需要處理：① 計算曲面上曲線對應的參數域曲線；② 重新確定裁剪面的拓撲關系。在此過程中，充分利用原有的拓撲信息、避免重新建立拓撲關系成為轉換算法能否穩定的關鍵。

針對裁剪面的參數表示轉換問題，本文首先確定參數變換對表示信息的影響，然后給出幾何與拓撲信息一致的參數變換的算法。本文還建立了裁剪球面轉換問題的參數變換關系，具體給出了轉換問題的解決方法；對于需要數值法反求參數的情形，給出了實現單值映射的算法。

1 裁剪面的參數變換

設I=[0,1], D=I×I, S：D→R3為連續映射，S(D)稱為參數曲面（或完整面）；若D1?D為單連通區域，S(D1) 稱為裁剪（參數）面。根據IGES標 準[9]，裁剪面的表示信息包括：① 對應的參數曲面（完整面）；② 參數曲面上的曲線(邊)；③ 映射到邊的參數域曲線（環邊）；④ 環邊的連接關系（環）；⑤ 環之間的包含關系（面）。標準還規定了環的方向：外環為逆時針，內環為順時針。

裁剪面的參數域信息分為幾何與拓撲信息兩部分，其中幾何信息起決定性作用。一旦修改了參數域的曲線，一般需要重新建立幾何元素的拓撲關系。如下定義的參數變換是一種常見的參數修改形式。

定義1 若 f, g：I→I為可逆連續映射，則稱T：D→D，(s, t) = T(u, v) = ( f(u), g(v))為參數變換。

設S(u, v)為曲面的一種參數表示。

定義1中的參數變換具有可逆、參數u和v的變換可分離的特點。

命題1 對裁剪面的參數域進行參數變換，該變換具有下述性質：

（1） u（或v）向等參線，經過變換后為s（或t）向等參線；

（2） 不相交的兩條曲線，經過變換后也不相交；

（3） 環經過變換后仍為環；

（4） 內環經過變換后仍為內環；

（5） 當f, g 同為增函數或減函數，環方向經過變換后不變；

（6） 若f, g 變換為非線性變換，變換后曲線類型改變。

針對裁剪面參數域曲線表示的特點，特作如下定義。

定義2 設t∈I, C(t)為裁剪面參數域曲線，對C(t)進行變換定義為：

（1） C(t)為等參線 對端點進行變換；

（2） C(t)為折線多邊形 對端點和連接點進行變換；

（3） C(t)為自由曲線并且變換為線性變換 對控制點進行變換；

（4） 其他情形 首先離散C(t)為折線多邊形，然后對折線多邊形的端點和連接點進行變換，最后修改C(t)的曲線類型為折線多邊形。

定義3 設t∈I, C(t)和P(t)為參數曲線。如果P(t) = C(1-t)，則稱P(t)為C(t)的反轉曲線；L = {l1(t), l2(t), …, ln(t)}為參數曲線的有序集合，則稱{ln(1-t), ln-1(1-t), …, l1(1-t)}為L的反轉。

至此，可得到對裁剪面參數域進行變換的算法。

算法1 裁剪面的參數變換

輸 入裁剪面，命題1 中確定的參數變換

輸 出變換后的裁剪面

步驟1 對參數域曲線進行變換。

步驟2 如果u 向和v 向變換函數同為增函數或減函數，結束。

步驟3 曲面上的曲線反轉（或者調整環邊與邊的方向關系，如同向→反向，反向→同向）。

步驟4 環反轉。

2 裁剪球面的表示轉換

二次裁剪面由幾何參數表示轉換為Nurbs 表示，是裁剪面求交、變形等操作的基礎。下面以裁剪球面為例，利用參數變換的方法，實現兩種不同參數表示形式的互相轉換。

球面的Nurbs 表示，u 向通常采用7 點法表示圓、v 向采用9 點法的半圓表示（見圖1）。為此，建立球面參數域的轉換關系。

圖1 Nurbs 表示圓和半圓

引理1 設單位半圓弧的幾何參數表示為

C ( t ) = (cosπ t , sinπ t ), t∈[0,1] 該圓弧的三階Nurbs 表示為

其中 Ni,2(u)和 Ri,2(u)分別為B 樣條基函數和 有理樣條基函數，P(u)的控制點、權重和節點向量分別為

則兩種表示方法的參數轉換關系為(t, u∈[0,1])

由引理1 以及Nurbs 表示的對稱性，可得到單位圓幾何參數表示與7 點法Nurbs 表示的參數轉換關系。

定理1 設單位圓的幾何參數表示為

C ( t ) = (cos2π t , sin 2π t ), t∈[0,1]

該圓的三階Nurbs 表示為[8-9]

其中 Ni,2(u)和 Ri,2(u)分別為B 樣條基函數和 有理樣條基函數，控制點、權重和節點向量分別為

{Pi} = {(1, 0), (1, 1), (-1, 1), (-1, 0), (-1,-1), (1,-1), (1,0)}，{wi} = {1, 0.5, 0.5, 1, 0.5, 0.5, 1}，

U = {0, 0, 0, 0.25, 0.5, 0.5, 0.75, 1, 1, 1}

則兩種表示方法的參數轉換關系為(t, u∈[0,1])

其中

定理1 給出了單位圓幾何參數表示轉換為Nurbs 表示的參數轉換關系。為避免奇異情形的出現，該關系表示為分段函數的形式。同理，可得到半圓的幾何參數表示與5 點法Nurbs 表示的參數轉換關系。

定理2 設單位半圓弧的幾何參數表示為

該圓弧的三階Nurbs 表示為[8-9]

其中 Ni,2(u)和 Ri,2(u)分別為B 樣條基函數和 有理樣條基函數，控制點、權重和節點向量分別為

則兩種表示方法的參數轉換關系為(t, u∈[0,1])

其中

由定理6 和定理7，裁剪球面由幾何參數表示轉換為Nurbs 表示（參見文獻[10-11]），其實現算法如下。

算法2 裁剪球面的幾何參數表示轉換為Nurbs 表示

輸 入幾何法表示的裁剪球面

輸 出Nurbs 表示的裁剪面

步驟1 修改曲面為Nurbs 表示

步驟2 對參數域進行變換，其中u→s 轉換關系為式(3)，v→t 轉換關系為式(5)。

同理，裁剪球面由Nurbs 表示轉換為幾何參數表示，由轉換關系式(4)和式(6)可得到相應的轉換算法。對于其他復雜的參數表示轉換，如裁剪球面轉換為高階的Nurbs 形式，直接給出參數轉換的公式相當困難；然而，確定變換函數的單調性卻比較容易。不妨設u 向和v 向的變換函數同為增函數，應用命題2 可得出利用數值法計算變換參數的算法，實現參數之間的單值映射。

算法3 數值方法的參數變換

輸 入原有曲面表示S(u, v)及其裁剪面上的參數點(u0, v0)，轉換后曲面表示P(s, t)。

輸 出轉換后裁剪面上對應的參數點 (s0, t0)。

計算點Q = S(0.5, v0), 數值法計算s0, t0使得 P(s0, t0) = Q。

計算點Q = S(u0, 0.5), 數值法計算s0, t0使得P(s0, t0) = Q。

計算點Q = S(u0, v0), 數值法計算s0, t0使得P(s0, t0) = Q。

3 結 束 語

保持裁剪面的形狀不改變的前提下，對參數域信息進行修改是實體造型中經常需要的操作。本文由此總結出可逆、u 向和v 向的變換可分離的參數變換。首先，給出了該變換對裁剪面表示信息的影響；然后，提出了對裁剪面參數域進行變換的算法。該算法不需要重新建立裁剪面的拓撲關系，直接對原有數據進行調整，確保了變換后裁剪面幾何信息與拓撲信息的一致性。對于不同表示形式的互相轉換問題，給出了裁剪球面參數轉換公式以及利用參數變換的解決方法，用實例對該算法的有效性進行了驗證。

本文提出的參數變換方法，還可以應用到其他二次裁剪面的參數表示轉換、裁剪面的鏡像變換、裁剪面的合并等問題。下一步擬運用本文的方法處理實體拔模、裁剪面變形等操作下的參數域修改問題。

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