淺析一元二次函數在初中階段的應用

我們知道一元二次函數能很好的體現了數形結合思想，分類討論思想等非常重要的數學思想。它又能培養了學生敏銳的觀察力，運算的準確性、思維的靈活性、發散性、獨立性、合作性等多方面的思維及能力，因而在初中數學中占具著重要地位。以下是本人根據教學過程中的體會與心得淺顯分析出一元二次函數在初中階段的應用。

一、一元二次函數的地位和作用

在初中代數中有一塊很重要的內容那就是一元二次函數。一元二次函數不僅本身具有豐富的內涵和外延，而且現實生活中利用此函數的機會特別多。同時各種數學思想如函數思想、數形結合思想、分類討論思想等借助此函數作為載體，在應用中充分展現。一元二次函數作為最基本的初等函數，還可以建立起一元二次函數、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機聯系，實際上不僅僅是初中階段，在高中階段不管在代數中，還是在解析幾何中，利用此函數的機會也很多。同時有關一元二次函數的內容又與近現代數學發展緊密聯系，是學生進入高校繼續深造的重要知識基礎。因為一元二次函數可聯系眾多知識，使得圍繞此函數可以編出靈活多變的數學問題。因此，一元二次函數在中考中頻繁出現，長久不衰，也就不足為奇了。

二、教好一元二次函數的策略

教與學一元二次函數可以從兩方面入手:一是解析式出發;二是圖像特征與解析式綜合出發。

1、從解析式出發可以進行純粹的代數推理，這樣代數推理、論證的能力反映出一個人的基本數學素養。如:若二次函數y=mx2-4x+8的對稱軸是直線x=-1，求它的頂點坐標、開口方向。此類題型能訓練學生掌握一元二次函數的開口、頂點、對稱軸三要素。

再如用待定系數法求一元二次函數的解析式這一環節時，根據初中階段的實際情況，教師可引導學生歸納出大致題型有:

①已知三點;已知兩點和對稱軸，可設:一般式y=ax2+bx=c。

②已知頂點和另一點;已知兩點和對稱軸，可設:頂點式y=a(x-h)2+h。

③已知與x軸的兩個交點和一個點，可設一般式y=ax2+bx+c或兩根式y=a(x-x1)(x-x2)。

點評:利用何種待定方式，關鍵是仔細分析已知提供的信息，選擇合適的類型。

2、從圖像特征與解析式出發可以實現數與形的自然結合，這正是中學數學中非常重要的思想方法。本文將涉及到的內容的類型歸類如下:

①分析函數y=ax2+bx+c的常規檢查:

(1)a、b、c的作用，a:開口，b:對稱軸x=-，c:與y軸的交點(0，c)。

(2)當x=1時，y= ，當x=-1時，y= 。

(3)與x軸交點個數:b2-4ac。

②畫函數y=ax2+bx+c大致圖像的一般步驟:

(1)求出頂點( )，對稱軸 。

(2)確定方向:a>0:方向 ，a<0:方向 。

(3)畫出x(y)軸的交點并找出關于對稱軸對稱的幾個點。

(4)考慮自變量x的取值范圍。

③結合圖形可確定函數的最值、區間取值的性質

最值、區間取值是函數性質中最重要的性質之一，而二次函數是生活中應用最廣泛的一種函數，在初中數學中占有重要的地位，具有承上啟下的作用，因此掌握二次函數的值域和最值是研究二次函數性質的重中之重。函數最值問題是歷年來中、高考考察的重點，所以要求學生更加細致地掌握函數最值問題與區間取值。新教材在知識上只闡述了二次函數在全體實數上的最值問題，本文將其延伸和拓展為給定區間上的最值問題，通過師生的共同探索，培養學生發現問題，研討問題，解決問題的能力，更重要的是培養學生探索問題的積極性，主動性和同學互相合作的團隊精神。

本文以一道常見的類型題說明以上觀點:觀察函數y=-x2+2x+3圖形回答:當x 時，函數值隨x的增大而增大;當x 時，函數取得最 值;當x 時，y>0;若強化條件2≤x≤4時，再由圖像看，當x 時，函數取得最大值 ，當x 時，函數取得最小值 ，函數區間取值 ;當3

點評:一元二次函數在區間上的最值是函數中最常見、最基本、最重要的一類問題。利用配方法確定拋物線的頂點坐標，然后對對稱軸與區間的位置進行討論，借助于二次函數的單調性解題，這是常用的基本方法之一。它不完全由頂點的縱坐標決定，需要根據拋物線的對稱軸與區間的位置關系采用分類討論的方式解決。首先是弄清對稱軸與區間的相互位置、進而利用圖象，結合單調性求解。使學生掌握解決二次函數在給定區間上最值問題和區間取值的理論和方法。

④利用函數圖像能形象的解決對稱性問題:如A(-1，4)，對稱軸x=1，求A關于x=1的對稱點B()

三、三個“一元二次”:函數、方程、不等式的有機結合

首先對照學生已經了解的一元一次方程、一元一次不等式與一次函數的關系，利用二次函數的圖象，找出一元二次方程、一元二次不等式與二次函數的關系，進而得到利用二次函數圖象求解一元二次不等式的方法。然后，說明一元二次不等式可以轉化為一元一次不等式組，由此又引出了簡單的分式不等式的解法。比如教師可設計如下三位一體的例題來體現這種關系:利用二次函數y2=x2-2x-3的圖像與性質求:①方程x2-2x-3=0的解;②不等式x2-2x-3>0的解集 ;③不等式x2-2x-3<0的解集。

點評:結合二次函數的對應值表與圖象(表、圖略)，可以得出，方程的解是x=-1，或x=3;當x<-1，或x>3時，y>0，當-1

四、提高一元二次函數在實際情景中的綜合應用能力

能夠解決實際問題是指:能夠解決帶有實際意義的和相關學科中的數學問題，以及解決日常生產和生活中的實際問題;能夠使用數學語言表達問題、展開交流，形成用數學的意識，利用一元二次函數圖像與性質解決區間取值問題。利用圖像與性質解決區間取值問題在生活中有著廣泛的應用。所以要求學生能應用一元二次函數的圖像與性質處理實際問題，并在此過程中掌握解題技巧。希望學生通過觀察、探究，體會數學活動充滿了探索性和創造性，感受數學知識的靈變性和實用性，從而進一步培養數形結合的思想。這一切的關鍵在于教師要教會學生處理此問題的學習方法:即把實際問題情景建模成一元二次函數的數學問題，利用圖像分析取值范圍與最值。借助以下的例題具體說明如何培養學生處理此類實際問題的能力。

(2006十堰市)“健益”超市購進一批20元/千克的綠色食品，由銷售經驗知，每天銷售量y(千克)與銷售單價x(元)(x≥30)存在一次函數關系式y=-20x+1000。(1)設“健益”超市銷售該綠色食品每天獲得利潤p元，寫出利潤p與x的函數關系式;當銷售單價為何值時，每天可獲得最大利潤?最大利潤是多少?(2)根據市場調查，該綠色食品每天可獲利潤不超過4480元，現該超市經理要求每天利潤不得低于4180元，請你幫助該超市確定綠色食品銷售單價x的范圍。

點評:建模成函數問題是突破此題的難點:利潤=(售價-成本)×銷售量。此環節教師應注重:1、引導學生突破數學建模這一難點;2、突出利用一元二次函數的圖像與性質解決區間取值問題的優勢;3、繼續向學生灌輸數形結合的思想。利用二次函數的圖像與性質解決區間最值問題，注意要點:先通過求頂點得到一般一元二次函數的最值，再考慮實際情況判斷一元二次函數應用題的區間最值。大致經歷3個步驟:步驟1:建模成二次函數的解析并分析出x的取值范圍。步驟2:畫函數大致圖像(要素:頂點、對稱軸、方向、與坐標軸交點、標出x的取值范圍)。步驟3:觀察區間內圖像的最值。

總之，一元二次函數是一類非常重要的函數，但新教材對于我們的學生現狀來說，未免中間知識點跨越得太大。同時在學生的認知結構中，數與形基本上是割裂的，還不善于把抽象的概念與具體事例聯系起來，從而導致學習函數的難度增加。因而，關于一元二次函數的學習，要求學生進行數形結合的思維訓練，進行符號語言與圖形語言的靈活轉換，需要學生在頭腦中建構一個情景(解析式的、表格的或圖形的)，使得函數的問題能夠得到形象的、動態的解決。為此，教師應依照新課標，結合新教材，依照學生的認知特點，和教師的教學經驗精心設計教案，采用主體探究式教學模式進行有效教學。關鍵是要教會學生們應用畫圖以及分析性質的辦法，使他們能很快找到解題的方法和思路。還有，學生們的基礎懸殊很大，知識缺陷很多，因而在以后的教學中，針對所講內容，選擇好切入點很關鍵，需要教師隨時注意內容的鋪墊。這不僅關系到課堂的教學效果，也關系到同學們的正確理解和掌握程度，更重要的是在給基礎差的同學搭建學習臺階的同時，也教給相對優秀的同學一種重要的分析問題和解決問題的方法。這樣學生們就會感覺學習起來很輕松，也就不會懼怕一元二次函數了。