七種易混概率題型解題剖析

概率在近年的高考中占有一定的比例，要充分注意一些重要概念的實際意義，理解概率處理問題的基本思想和方法(觀察與試驗、分析與綜合、一般化與特殊化).本文略舉數例對六種題型作一些簡要剖析，僅供參考.

一、是否等可能性問題

等可能事件的概率:如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果都是等可能的.如果事件A包含m個結果，那么事件A的概率P(A)= .

例1擲兩枚骰子，求事件A為出現的點數之和等于5的概率.

分析公式P(A)=

僅當所述的試驗結果是等可能性時才成立，而取數值2和3不是等可能的，出現點數之和為2的只有一種情況:(1，1)，而出現點數之和為3的有兩種情況:(1，2)，(2，1)可出現，出現點數之和為4的有三種情況:(1，3)，(3，1)，(2，2)可出現，出現點數之和為5的有四種情況:(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)可出現，

解析擲兩枚骰子可能出現的情況:(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，基本事件總數為6×6=36.在這些結果中，出現點數之和等于5的只有四種結果(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)，∴P (A)==.

點評解決等可能性事件的概率問題的關鍵是:正確求出基本事件總數和A包含的基本事件數.

二、“互斥”與“獨立”問題

不可能同時發生的兩個事件稱為互斥事件.

相互獨立事件是指事件A與事件B，他們其中一個發生與不發生對另一個發生的概率沒有影響.

相互獨立事件的概率乘法公式:P(A*B)=P(A)*P(B).

獨立事件重復試驗又叫貝努里試驗，是在同樣的條件下，重復地各次之間相互獨立地進行的一種試驗，在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結果，即某事件要么發生，要么不發生，并且在任何一次試驗中發生的概率都是一樣的.

n次獨立事件重復試驗中某事件恰好發生k次的概率計算公式:Pn(k)=Ckn#8226;P k(1-P)n-k.

例2甲投籃命中率為0.85，乙投籃命中率為0.75，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?

分析本題是相互獨立同時發生的事件而不是互斥事件.將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和.

解析設“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，則P(AB)=P(A)×P(B)=C230.852×0.15×C230.752×0.25=0.1372.

點評在一般情況下，互斥與相互獨立是兩個互不等價、完全不同的概念.

例3 從某批產品中，有放回地抽取產品二次，每次隨機抽取1件，假設事件A:“取出的2件產品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(1)求從該批產品中任取1件是二等品的概率P;

(2)若該批產品共100件，從中任意抽取2件，求事件B:“取出的2件產品中至少有一件二等品”的概率P (B).

分析本小題主要考查相互獨立事件、互斥事件等的概率計算，運用數學知識解決問題的能力，以及推理與運算能力.

解析 (1)記A0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，A1表示事件“取出的2件產品中恰有1件二等品”.則A0 . A1互斥，且A=A0 + A1，故P(A)=P(A0 + A1)=P(A0 )+P( A1)=(1-P )2+C12P(1-P )=1-P 2，于是0.96=1-P 2，解得P 1=0.2，P 2=-0.2(舍去).

(2)記B0表示事件“取出的2件產品中無二等品”，則B=B0.

若該批產品共100件，由(1)知其中二等品有100×0.2=20件，故P(B0)==.

P(B)=P(B0)=1-P(B0)=1-=.

點評 對于較復雜的概率問題，應分清事件的構成以及概率的轉化，理解清楚“至多有一個事件發生”“至少有一個事件發生”和“恰有一個事件發生”等語句的真實含義是解題的關鍵.

三、“互斥”與“對立”問題

其中必有一個發生的互斥事件叫做對立事件.

互斥事件與對立事件的關系:對立事件一定是互斥事件 ，但互斥事件不一定是對立事件.兩個對立事件之和為必然事件.

求某一事件發生的概率，首先應注意分析具體問題中事件發生的概率類型，同一隨機事件用了哪種模型，是互斥模型(正向思考)還是對立模型(反向思考).

例4從裝有4個黑球和4個白球的口袋內任取4個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()

A. 至少有2個白球，都是白球

B. 至少有2個白球，至少有2個黑球

C. 恰有2個白球，恰有4個白球

D. 至少有1個白球，都是黑球

分析 本題容易把“互斥”與“對立”混淆，解題時必須注意.

解析 A，B既不互斥，也不對立， C互斥而不對立， D既互斥又對立，所以正確答案應為C.

例5 口袋中裝有30個小球，其中n個紅色、5個藍色、10個黃色，其余為白色，求

(1)如果從裝里取出3個都是相同顏色球(無白色)的概率是，且n≥2，計算紅球有幾個?

(2)根據(1)的結論，計算從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率.

分析 本題主要考查互斥事件與對立事件概率的求法及排列組合的知識，考查邏輯思維能力及綜合運用知識分析和解決問題的能力.

解析 取3個球的總數為C330=4060.

設事件A為:3個球全是紅色;事件B為:3個球全是藍色;事件C為: 3個球全是黃色，則有P(B)==，P(C)==.

∵A，B，C為互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

即=P(A)++，所以P(A)=0，即取3個球，紅球的個數小于或等于2.又n≥2，所以n=2.

(2)記事件D: 3個球中至少有一個是紅球，則D為: 3個球中沒有紅球.

P(D)=1-P(D)=1-=.

點評 求某些較復雜的事件的概率時，通常有兩種方法:一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的概率的和，二是先去求此事件的對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率，但一定要分清事件的對立事件到底是什么事件，不能重復或遺漏，它常用于“至多”“至少”型問題的探求.

四、“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(AB)”問題

事件A、B同時發生，故該事件記為A#8226;B，也叫事件A、B的積事件.P(A#8226;B)=P(A)#8226;P(B);P(A1#8226;A2…An)=P(A1)#8226;P(A2)…P(An)

在縮減的樣本空間SA中，作為在事件A已經發生的條件下，事件B發生的概率，叫事件A、B的條件概率P(B|A).

例6袋中有6個紅色、4個白色乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求:

(1)第二次才取到紅色球的概率;

(2)發現其中之一是紅色的，另一個也是紅色的概率.

分析本題容易把P(AB)與P(B|A)的含義弄混淆.P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時發生的概率;而P{B|A}表示在縮減的樣本空間SA中，作為在條件A已經發生的條件下，事件B發生的概率.

“第二次才取到紅色球”與“第二次取到紅球”是不一樣的兩件事.“第二次才取到紅色球”中的“才”點明了第一次取球是一個白色的乒乓球，而“第二次取到紅球”這句話就無法明確第一次取得什么顏色的球.故求第二次才取到紅色球的概率是一個條件概率.而該題的第二問就是一個非常明確的求條件概率的問題.

解析 (1)設事件A為“第一次取到白球”，事件B為“第二次取到紅球”，事件C為“第二次才取到紅球”，則P(C)=P(AB)=P(A)P(B)P(B|A)=×=.

(2)設事件為“取兩次其中之一是紅球”，事件E為“兩個都是紅球”，事件F為“其中之一是紅球，另一個也是紅球”，則事件ED為“兩次取球都是紅球”.

于是P(ED)=×=，P(D)=×+×+×，故P(F)=P(E |D)==

=.

例7一張儲蓄卡的密碼共六位數字，每位數字都可從0～9中任選一個.某人在銀行自動取款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數字，求:

(1)任意按最后一位數字，不超過2次就按對的概率;

(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數，不超過2次就按對的概率.

分析 第一問中“任意按最后一位數字”與“不超過2次就按對的概率”這兩句話目的是為了完成同一件事就是“按對密碼”，切不可把“任意按最后一位數字”作為條件，而把“不超過2次就按對的概率”作為估計的事件，這樣就會誤把第一問看作求條件概率的問題，從而就會找不到解題的思路.該題的第二問，條件與目的就相當明確了，是一個條件概率.

解析 設第i次按對密碼為事件Ai(i=1，2)，則A=A1∪(A1A2)表示不超過2次就按對密碼.

(1)因為事件A1與事件A1A2互斥，由概率的加法公式得:P(A)=P(A1)+P(A1A2)=+=.

(2)用B表示最后一位按偶數的事件，則P(A|B)=P(A1|B)+P(A1A2|B)=+=.

點評 條件概率P(B|A)表示在條件A已經發生的條件下，事件B發生的概率.而積事件的概率P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時發生的概率，計算積事件的概率時必須注意三點:事件的獨立性，各事件同時發生，分別求出各個事件發生的概率再求其積.

五、“有序”與“無序”問題

在解決有關概率的綜合應用題中，要注意分析題中各要素之間是否與順序有關，若與順序有關，則用排列知識解決，若與順序無關，則用組合知識解決.

例8 兩部不同的長篇小說各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本.將它們任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是(結果用分數表示).

分析 本題中的兩部長篇小說是不同的，且各部又由不同的四卷組成，所以它們在排成一排的時候是與順序有關的，這一點必須注意.

解析 從兩部不同的長篇小說8本書的排列方法有A88種，左邊4本恰好都屬于同一部小說的排列方法有A44A44A22種.所以， 將符合條件的長篇小說任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說的概率是:P==種.所以，填

點評 本題主要考查運用排列和概率知識，以及分步計數原理解決問題的能力，推理和運算能力.

例9 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球;乙袋裝有2個紅球，n個白球.由甲，乙兩袋中各任取2個球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4個球全是紅球的概率;

(Ⅱ)若取到的4個球中至少有2個紅球的概率為，求n.

分析 本題中甲、乙兩袋中的紅球和白球各自都是相同的，且取到的紅球沒有先后順序之分，所以與順序無關，應用組合知識解決.

分解 (I)記“取到的4個球全是紅球”為事件A，P(A)=#8226;=#8226;=.

(II)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B，“取到的4個球只有1個紅球”為事件B1，“取到的4個球全是白球”為事件B2.由題意，得P(B)=1-=.

P(B1)=#8226;+#8226;=;

P(B2)=#8226;=，

所以，P(B)=P(B1)+P(B2)=+ =，化簡，得7n2-11n-6=0，解得n=2，或n=-(舍去)，故n=2.

點評 本題主要考查運用組合、概率等基本知識，同時考察邏輯思維能力和數學應用能力.

六、“二項分布”與“幾何分布”問題

離散型隨機變量的概率分布:設離散型隨機變量可能取的值為x1，x2，…，xi，…，取每一個值xi(i=1，2，…)的概率P(=xi)=P2，則稱下表.

為隨機變量的概率分布，簡稱的分布列.

(1)二項分布:n次獨立重復試驗中，事件A恰好發生k次的概率PK=P(=k)=CnnP kqn+k，其中0≤k≤n，q=1-q隨機變量的分布列如下:

則稱這樣隨機變量服從二項分布，記作~B(n，p)，其中n、 p、為參數，并記:CknP kqn-k =b(k;n， p).

(2)幾何分布:在獨立重復試驗中，某事件第一次發生時所作的試驗的次數是一個取值為正整數的離散型隨機變量，“=k”表示在第k次獨立重復試驗時事件第一次發生，隨機變量的概率分布為:

則稱這樣隨機變量服從幾何分布，記作g(k，p)=q k-1p，其中q=1-p，k=1，2，3，…

注意:幾何分布不同于二項分布，要注意它們的區別，一個是n次獨立重復試驗恰好發生k次的概率，另一個是在第k次獨立重復試驗時某事件第一次發生的概率，它們的共同之處是都是獨立重復試驗.

例10接種甲流疫苗后，出現發熱反應的概率為0.80，現有5人接種該疫苗，至少有3人出現發熱反應的概率為__________.(精確到0.01)

分析 設出現發熱反應的人數為，則5人接種該疫苗可看作5次獨立重復試驗，所以服從二項分布.

解析 由題意知，至少有3人出現發熱反應的概率為P(≥3)=C35#8226;0.803#8226;0.202+C45#8226;0.804#8226;0.20+C55#8226;0.805，故填0.94.

點評 本題主要考查運用組合、概率的基本知識和分類計數原理解決二項分布問題的能力，以及推理和運算能力. 二項分布是常見的離散型隨機變量的分布，必須重點掌握.

例11 某射手每次命中目標的概率為0.15，現該射手連續向目標射擊，如果命中目瞟，則射擊停止，否則繼續射擊，直到命中目標，但射擊次數最多不超過10次，求射擊次數的概率分布.

分析 此題屬于幾何分布，每個概率應用P(=k)=q k-1P，而P(=k)應理解為前k-1次未命中目標且第k次命中目標或前k-1次未命中目標且第k次也未命中目標兩重含義，應與二項分布區別開來.

解析 由題意得=1，2，…，10，各次射擊是相互獨立的，故有P(=i)(1-0.15)i-1×0.15=0.85i-1×0.15，其中i=1，2，…，9.

而P(=10)=0.859×0.15+0.8510=0.859，故所求分布列為

點評 本小題主要考查概率和離散型隨機變量分布列等知識.考查運用概率知識解決實際問題的能力離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和.

七、“可辯認”與“不可辨認”問題

在解決與球放入盒子等相關問題時，要注意，若球或盒子是編好號的，則我們稱其為“可辯認”， 若球或盒子不是編好號的，則稱其是“不可辯認”.

例12 將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中去(每個盒子容納球的個數不限)，求事件A:“某指定的n個盒子中恰有一球的概率.

分析 注意此題中的球可能是編號的，也可能是沒有編號的，因此解題時要注意它的兩面性，即“可辯認”與“不可辨認”，切忌片面的處理問題.

解析 分兩種情況:

如果球是編號的(即可辨認的)，則將n個球等可能地放入到N個編號的盒子中，樣本空間包含基本事件的總數為Nn，而A中含有n!個基本事件，∴P(A)=.

如果球沒有編號(即不可辯認的)，我們在此用符號“□”表示一個盒子，“○”表示球，先將盒子按號碼排列起來這樣的N個盒子由N+1個“|”構成，然后把n個球任意放入N個盒子中，比如:|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號“|”和“○”共占有:N+1+n個位置，在這N+1+n個位置中，開始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個位置上“|”和“○”可以任意次序排列.則N-1個“1”和n個“○”在中間的N+n-1個位置上的可以區別的排列數是CnN+n-1，故S含有CnN+n-1個基本事件，將n個不可辨認的球放入指定的n個盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故A含1個基本事件，從而P(A)==.

總結 解決概率問題要注意三個步驟:

(1)確定事件類型等可能事件，互斥事件，獨立事件，n次獨立重復試驗，二項分布，幾何分布， 即所給的問題歸結為六類問題中的某一種.

(2)判斷事件的運算和事件， 積事件， 即是至少有一個發生，還是同時發生，分別運用相加或相乘運算.

(3)運用公式

等可能事件:P(A)=，互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B)，獨立事件:P(A#8226;B)=P(A)#8226;P(B)，n次獨立重復試驗:Pn(k)=CknP k(1-P)n-k

求解.

責任編校 徐國堅