構造“新數(shù)列”求數(shù)列通項公式

能熟練求數(shù)列的通項公式是學習數(shù)列的基本要求和基本技能，是高考的重點題型.數(shù)列問題一般情況下是把非特殊數(shù)列轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列加以解決。求通項公式更是如此，且這類問題常見于有遞推式的數(shù)列問題中.那么，如何轉化是我們值得探討和總結的問題.

一、基本題形

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=2，n≥2時，an=3an-1+2，求an

分析 數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但遞推式an=3an-1+2可變形為an+1=3(an-1+1)，則構造了一個“新數(shù)列”{an+1}為等比數(shù)列，可先行解決an+1的通項，再求an.

解 當n≥2時，an=3an-1+2可化為an+λ=3(an-1+λ)，即an=3an-1+2λ，

由2λ=2，∴λ=1.即an=3an-1+2可化為an+1=3(an-1+1).

∴新數(shù)列{an+1}是首項為a1+1=3，公比為3的等比數(shù)列，

∴an+1=3#8226;3n-1=3n，∴an=3n-1

當n=1時也適合，∴an=3n-1.

說明 一般的，若遞推式為an=pan-1+q(p≠1，q≠0)，則可構造新的等比數(shù)列{an+λ}，其中λ=q1-p，先行解決an+λ，再求an.

例2 數(shù)列{an}中，各項均不為零，a1=2，an+3anan-1-an-1=0(n≥2)求an。

分析 {an}不是等差或等比數(shù)列，由遞推式形狀，考慮同除以anan-1，化為1an=1an-1+3，則構造了一個新的等差數(shù)列{1an}，先求出1an，再求an.

解 由數(shù)列an+3anan-1-an-1=0(n≥2)兩邊同除以anan-1得:1an=1an-1+3

則新的數(shù)列{1an}是以1a1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以1an=12+3(n-1)

所以an=26n-5.

說明 一般的，若數(shù)列遞推式是an+panan-1-an-1=0或an=an-1pan-1+1(p為常數(shù))，則可構造新的等差數(shù)列{1an}，先解出1an，再求an.

所以，若一個數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，可將遞推式變形，構造形如{an+λ}、{1an}、{a2}、{an}等的等差數(shù)列或等比數(shù)列，先解決此類式子，再求出an的通項表達式.

例3 正項數(shù)列{an}中，Sn為其前n項的和.a2n-2anSn+1=0，求an.

分析 原式是Sn與an的混合式子，須用an=Sn-Sn-1化為只含有an或Sn的遞推式再加以解決.

解 n≥2時an=Sn-Sn-1

∴原式可化為(Sn-Sn-1)2-2(Sn-Sn-1)Sn+1=0，化簡為S2n-S2n-1=1

又n=1時，a1=S1，∴a21-2a21+1=0，∴a1=S1=1，∴{S2n}是一個首項為S21=1，公差為1的等差數(shù)列，∴S2n=n即Sn=n.

又n≥2時，an=Sn-Sn-1=n-n-1，也適合n=1。

∴an=n-n-1.

說明 一般的，若遞推式是含有an與Sn的混合式子，則先利用an=Sn-Sn-1把原式化為只含有an或Sn的遞推式子，再構造新的數(shù)列解題.

二、推廣

例4 已知數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an+2n+1，求an.

解(法1)an+1=4an+2n+1可化為an+1+2n+1=4(an+2n)

則{an+2n}為首項是a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，

∴an+2n=4#8226;4n-1即an=4n-2n。

解(法2)an+1=4an+2n+1兩邊同除以2n+1得an+12n+1=2#8226;an2n+1，

化為an+12n+1+1=2#8226;(an2n+1)∴{an2n+1}為首項為a12+1=2，公比為2的等比數(shù)列，

∴an2n+1=2#8226;2n-1=2n即an=4n-2n.

說明 若遞推式中還含有含n的代數(shù)式的時候，可考慮構造另類數(shù)列{an#8226;f(n)+g(n)}為等差或等比數(shù)列來解決.

再如例5 已知數(shù)列{an}中滿足a1=32，且an=3nan-12an-1+n-1(n≥2，n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式.

解 an=3nan-12an-1+n-1變形為1-nan=13(1-n-1an-1)，

∴{1-nan}為首項為1-1a1=13，公比為13的等比數(shù)列，

∴1-nan=13n即an=n#8226;3n3n-1.

總之，在解決由遞推式求數(shù)列通項公式的問題時，若數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，可將遞推式適當變形，構造新的數(shù)列，使之成為等差或等比數(shù)列，先解決“新數(shù)列”的通項，再進一步求出{an}的通項.