地球自轉對拋體運動影響的數值分析

謝善娟

(寧德師范高等專科學校物理與電氣工程系,福建寧德 352100)

拋體運動是日常生活中一種常見的運動現象,也是力學教材中經常討論的典型問題.在考慮地球自轉時,拋體除受重力作用外,還受科里奧利力作用.在一般的理論力學教材中[1],科里奧利力的效應多以自由落體為例進行討論,有關文獻[2-4]也對拋體運動作了分析.但在方法上通常都是使用傳統的解析法,采用了近似處理.本文將借助數學軟件MATLAB,利用數值計算的方法,求得精確、直觀的結果,分析地球自轉對拋體運動產生的影響.

1 拋體運動方程

1.1 運動微分方程

在考慮地球自轉時,質量為 m的拋體,其動力學方程為：

其中ω為地球自轉角速度,v是拋體的速度.以北半球緯度為 r的某點O為坐標原點,在地球上建立直角坐標系 O-xyz,x軸沿地面水平向南,y軸沿地面水平向東,z軸垂直地面指向天頂.于是可得(1)式在O-xyz坐標系內的投影方程為[1]為：

(2)式是二階線性微分方程組,解析求解過程比較繁瑣,可以將其變換為一階線性微分方程組,然后利用MATLAB軟件進行數值求解.

1.2 拋體運動軌跡

設在坐標原點 O處,以初速 v0、拋射角θ向正東拋出某物體,則初始條件為 t=0時,x=y=z=0,=0,=v0cosθ,=v0sinθ.取緯度 r=40°、v0=400 m/s、θ=30°,用MATLAB求解微分方程組 (3),繪制出忽略地球自轉和考慮地球自轉兩種情況下的拋體運動軌跡圖 (如圖1所示).該圖說明在考慮地球自轉時,由于科里奧利力的作用,拋體運動發生了偏移,以下針對拋體運動特征進行具體分析.

2 拋體運動的偏移量分析

地球自轉使拋體的落地點發生了偏移.偏移量的大小與緯度、拋射角和初始速度的大小有關.

圖1 忽略地球自轉和考慮地球自轉的拋體運動軌跡

2.1 緯度對偏移量的影響

設 v0=500 m/s,分別取拋射角θ=50°和75°運行程序,可得到圖2和圖3.

圖2 南北偏移量與緯度的關系

圖3 東西偏移量與緯度的關系

圖2給出了南北偏移量隨緯度的變化曲線.從圖2中可看出,在兩極南北偏移最大,而在赤道南北偏移為零.并且往正東方向發射的拋體,在北半球其落地點南偏,在南半球則為北偏.

圖3給出了東西偏移量隨緯度的變化曲線.圖3說明,往正東方向發射的拋體,其落地點可能出現東偏或西偏.這種偏移的結果相當于拋體的射程增大或減小.該效應在赤道最顯著,而在兩極為零.

2.2 拋射角對偏移量的影響

圖4 南北偏移量與拋射角的關系

圖5 東西偏移量與拋射角的關系

圖4給出了南北偏移量隨拋射角的變化曲線.從圖中可看出,當拋射角θ≈0.95 rad時,即θ≈54°時,南偏值最大.該最大的南偏值和對應的拋射角也可以利用MATLAB編程精確求出.

圖5給出了東西偏移量隨拋射角的變化曲線.從圖中可看出,當拋射角θ≈1.04 rad時,即θ≈60°時,東西偏移量為零;當θ＞60°時,存在西偏現象 (射程減小);當θ＜60°時,存在東偏現象 (射程增大).由圖可知,在θ≈0.52rad時,即θ≈30°時,東偏現象最顯著.該結果與文獻 [2]理論分析的結果相同.

2.3 初始速度大小對偏移量的影響

表1對不同初始速度大小情況下,地球自轉對拋體運動的影響進行了比較.從表1可以看出,隨著發射速度的增大,拋體的南偏、東偏以及射高均增大,而且當初始速度較大時,偏移相當顯著.這也說明了,當發射速度較大時,地球自轉是一個必須考慮的因素.從表1還可以看出,地球自轉使拋體的飛行時間增長了,但增長量很小.

表1 不同初速大小情況下地球自轉對拋體運動的影響 (緯度40°,拋射角30°)

3 結論

(1)地球自轉使拋體的運動軌跡發生偏移,這種現象在初始速度較大時,相當顯著.

(2)拋體的南偏效應在兩極最顯著,在赤道為零.往正東方向發射的拋體,在北半球落地點南偏,在南半球落地點北偏.偏移量隨拋射角的不同而變化,拋射角約54°時,偏移量最大.

(3)拋體的東偏效應在赤道最顯著,在兩極為零.往正東方向發射的拋體,東西偏移的結果將使射程增大或減小,當拋射角約為60°時,射程的凈偏移為零;當拋射角大于60°時,射程減小 (西偏);拋射角小于60°時,射程增大 (東偏).且拋射角約為30°時,東偏量最大.

[1]周衍柏.理論力學教程：第2版 [M].北京：高等教育出版社,1986：254-258.

[2]吳永懋.考慮地球自轉時拋體運動的偏移 [J].大學物理,1990,(2)：5-6.

[3]冷水根.關于拋射體偏移問題的商榷 [J].力學與實踐,1998,(1)：46-47.

[4]李拓.自由落體和拋體偏離的另一種解法 [J].大學物理,2005,(8)：61-63.

[5]胡靜,彭芳麟,管靖.理論力學計算機模擬 [M].北京：清華大學出版社,2002：136-139.

[6]張志涌.精通MATLAB6.5版 [M].北京：北京航空航天大學出版社,2003：247-249.