爆炸膨脹環一維應力假定的分析與討論*

湯鐵鋼，李慶忠，陳永濤，童慧峰，劉倉理

（中國工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟物理國防科技重點實驗室，四川 綿陽 621900）

爆炸膨脹環一維應力假定的分析與討論*

湯鐵鋼，李慶忠，陳永濤，童慧峰，劉倉理

（中國工程物理研究院流體物理研究所沖擊波物理與爆轟物理國防科技重點實驗室，四川 綿陽 621900）

對爆炸膨脹環的運動過程和應力狀態進行了理論分析，指出膨脹環在徑向變形過程中其厚度減小將引起內外壁的速度差，對膨脹環內外壁的速度差進行了分析。由于膨脹環內外壁速度差的存在必然造成復雜應力狀態，無法滿足一維應力假定，由此推斷出實驗中利用外壁速度計算出的應力要略大于膨脹環內的平均應力。利用LS-DYNA三維動力學有限元程序驗證了理論分析結果，利用膨脹環外壁速度計算出的應力比數值模擬給出的膨脹環內平均應力大1%左右。

固體力學；一維應力；反向求解；膨脹環

1 引 言

利用爆炸膨脹環在一維應力假定下研究高應變率拉伸加載時材料的動態性能，膨脹環內真實的應力狀態是否嚴格滿足一維應力狀態，決定了爆炸膨脹環實驗數據的可用性。為了避開早期的沖擊加載和后期膨脹環失穩引起的速度振蕩（或者說造成膨脹環內應力的不均勻性），實驗中通常選取膨脹環速度曲線的中間平滑段作為有效數據，認為速度平滑階段即自由膨脹階段滿足一維應力假定。從P.C.Johnson等［1］、C.R.Hoggatt等［2］最早運用爆炸膨脹環實驗測試工程材料的本構關系數據，到R.H.Warnes等［3－4］首先利用激光速度干涉儀（VISAR）測量爆炸膨脹環的徑向速度，通過速度歷史處理應力－應變－應變率關系，以及后來眾多研究者，不論是利用爆炸膨脹環實驗研究材料的動態性能［5－6］，還是討論膨脹環實驗數據的應用［7］，均在一維應力假定條件下進行。然而，在膨脹環運動速度平滑階段，是否嚴格滿足一維應力假定，其近似程度如何，目前未見相關研究報道，但R.H.Warnes等［3］在研究中曾討論過膨脹環二維效應的影響。

本文中，首先通過對膨脹環自由運動過程中的狀態進行分析，指出一維應力假定可能引起的偏差，理論預估偏差的大小，然后通過數值模擬定量計算膨脹環徑向運動時環內的應力不均勻性。利用數值模擬得到的膨脹環外壁速度歷史，結合一維應力假定條件下推導出的公式反向計算膨脹環內的應力，并與數值模擬計算給出的膨脹環內平均應力進行比較，確定一維應力假定對膨脹環實驗研究帶來的理論偏差。

2 一維應力假定分析

2.1 一維應力假定

爆炸膨脹環實驗中的一維應力假定為：膨脹環在自由飛行階段，膨脹環內只有環向應力，徑向應力和軸向應力為零。對于自由飛行階段的膨脹環，僅在環向應力作用下作減速運動［8］。取膨脹環半徑r處的任一環向單元建立運動方程

金屬環在自由膨脹期間徑向應力為零，得到周向應力的運動方程

式中：r是金屬環徑向加速度。

在以上分析中，實際上包含了如下假設：

（1）膨脹環在自由飛行階段環向應力和軸向應力為零，環向應力在膨脹環的截面上均勻分布；

（2）忽略高階小量，相當于假定膨脹環外徑R與內徑r近似相等；膨脹環內外壁的運動速度相等。

2.2 近似假定帶來的偏差

首先對膨脹環的運動進行分析。如圖1所示，假設膨脹環從時刻t0開始自由膨脹，從時刻t0到t1，膨脹環的外壁運動距離為s1，內界面運動距離為s2。由于膨脹環的厚度減小，s2＞s1，所以內界面的運動速度高于外壁的運動速度，于是在膨脹環的截面存在一個速度梯度，必然導致截面上應力的不均勻。記外壁速度為，內壁速度為，分別可用下面的公式表達

式中：s2－s1即為膨脹環的壁厚變化量。

圖1 膨脹環運動時的速度梯度示意圖Fig.1Sketch of velocity gradient of an expanding ring

以直徑40mm、厚1mm的膨脹環為例，假設膨脹環在20μs內徑向膨脹10%，即s1＝2.1mm，在材料不可壓縮的條件下，其截面面積也相應縮小10%，膨脹環的厚度減小約5%，即s2－s1＝0.05mm。由公式（5）可知，厚度變化給內外壁速度帶來的相對誤差約為2.5%。

由σθ＝－ρ0rr¨知，應力幅值與速度大小無關，只與速度斜率（即加速度）相關，同時應力幅值與r相關。對于內外壁而言，不僅半徑是不相等的，速度的斜率也是不相等的，所以內外壁位置的環向應力也不相等。

3 數值模擬分析

3.1 計算模型

膨脹環在運動過程中，由于內外壁速度差的存在，應力將不是理想均勻分布。應力的不均勻會影響到實驗數據的分析。實驗中測試的是膨脹環自由面的速度或者位移，由此計算出的應力能否表征膨脹環的整個截面內的平均應力，需要通過數值模擬計算進行定量分析。

利用LS-DYNA三維動力學有限元程序對爆炸膨脹環內的應力狀態進行模擬計算分析。計算模型如圖2所示，由里到外依次為炸藥、裝藥容器、驅動器、膨脹環。中心柱形裝藥為PETN粉末，密度1.05g／cm3，直徑10mm，采用JWL狀態方程；裝藥容器厚3mm，材料為PMMA；驅動器厚12mm，材料為20鋼；膨脹環內徑40mm、厚1mm、高1mm，材料為無氧銅（TU1）。20鋼和無氧銅均采用J-C本構模型，J-C本構模型參數見表1［8］，表中ρ為密度，cp為比定壓熱容，E為楊氏模量，ν為泊松比，A為屈服應力，B為硬化常數，n為硬化指數，C為應變率常數，m為熱軟化指數。

膨脹環截面單元和節點的選取如圖3所示，選取從膨脹環內壁到外壁的4個單元：1～4，選取內外壁上的2個節點a和b。

表1 20鋼和無氧銅的本構模型參數Table 1 Construction parameters for 20steel and oxygen-free copper

圖2 計算模型示意圖Fig.2 Sketch of computation model

圖3 膨脹環截面單元號和節點號示意圖Fig.3 Number of elements and nodes on the ring section

3.2 計算結果

膨脹環內外壁的速度歷史如圖4所示，節點a位于膨脹環的內壁，節點b位于膨脹環外壁。沖擊加載時，膨脹環內壁的起跳速度要遠大于外壁的速度，這是爆炸膨脹環實驗的特點，沖擊加載時膨脹環內壁速度與驅動器的外壁速度一致，而外壁速度取決于入射沖擊波的強度及側向稀疏的影響。不考慮早期的沖擊加載階段，膨脹環在5.5μs時刻與驅動器完全分離，在自由膨脹階段，10μs時刻，膨脹環內壁速度為102.21m／s，外壁速度為100.09m／s，相差2.1%，與2.2節中分析的2.5%基本一致。但到50μs時刻，內壁速度為45.32m／s，外壁速度為45.06m／s，相差0.6%。隨著膨脹環的膨脹，其半徑在增加，而截面尺寸變化對速度變化的貢獻在逐步減小，同時由于膨脹環出現頸縮等局部塑性變形現象，非頸縮位置膨脹環的截面尺寸不再明顯變化，因此引起的內外壁速度差在減小。

從速度曲線看，10μs以后可以認為是自由膨脹，那么就應該滿足一維應力假定。從圖5～7的應力歷史看，10μs以后膨脹環截面內徑向應力和軸向應力基本上趨于0，均可以忽略，此時膨脹環內只有環向拉應力，可以認為滿足一維應力假定。但在45μs以后，徑向應力和軸向應力開始偏離0軸，可以認為是膨脹環內局域塑性變形造成的。

圖4 膨脹環內外壁節點的速度歷史Fig.4 Velocity profile of inner and outer surface nodes of an expanding ring

圖5 膨脹環截面各單元的環向應力歷史Fig.5 Hoop stresses of different position elements on an expanding ring section

圖6 膨脹環截面各單元的徑向應力歷史Fig.6 Radial stresses of different position elements on an expanding ring section

圖7 膨脹環截面各單元的軸向應力歷史Fig.7 Axial stresses of different position elements on an expanding ring section

從環向應力歷史（圖5）看，不同位置單元的環向應力是不相等的，這證明了前面分析中認為由于速度差的存在導致應力分布不均勻的結論。同時看到，不同位置單元的環向應力的大小隨著時間而改變，任何單元的應力都不適合描述膨脹環截面上的應力，最好的方法是采用平均應力來描述。

既然膨脹環截面上的應力不均勻，那么在膨脹環實驗中利用外壁速度求解應力時，即認為求出的應力是膨脹環截面上的平均應力。實際上，上面的分析已經證明，利用公式（4）對膨脹環外壁速度進行求解得到的應力可能偏大，主要原因在于膨脹環外壁的半徑大于平均半徑，而速度斜率相差很小。利用膨脹環外壁速度求解出的應力，與膨脹環內的平均應力到底存在多大的偏差，關系到實驗數據的精度，有必要進行進一步的定量分析。

3.3 應力的反向求解

為了定量分析利用膨脹環外壁速度求解膨脹環內平均應力帶來的偏差，利用計算獲得的速度數據進行反向求解。由于利用速度反向求解應力時只涉及膨脹環材料的初始密度，沒有不確定的參數，可以認為此種處理結果與實驗數據的處理是一致的。利用公式（4）對圖4中節點b的速度歷史進行求解，速度歷史取10μs以后的數據，求出的應力歷史以及數值模擬計算獲得的膨脹環截面上平均等效應力、平均環向應力見圖8。

由圖8可以看出，等效應力與環向應力在10～45μs內完全重合，45μs以后開始出現偏離，與徑向應力、軸向應力偏離0軸的時間是一致的，由此可以判定45μs以后不再嚴格滿足一維應力假定，這主要是由于拉伸后期膨脹環內出現頸縮等不均勻現象。通過反向求解出的應力與平均應力的比較發現，在10～11μs內，求解出的應力偏離較大，原因可能是此時膨脹環內應力波沒有完全消失，處于應力均勻化階段，若不求解出應力，單純從膨脹環的速度歷史很難判定此時刻膨脹環不處于自由膨脹階段。從11μs以后，反向求解出的應力與膨脹環內的平均應力基本上一致，但始終略高于平均應力，高出幅度范圍為0.6%～1.7%。這一偏差與實驗數據的精度無關，是由處理膨脹環實驗數據時所做假定造成的。

4 結 論

通過分析討論，可以得出以下幾點結論：

（1）理論分析表明膨脹環在膨脹時其截面尺寸的變化會引起內外壁速度差，從而導致膨脹環截面內應力分布的不均勻；數值模擬結果不僅證實了這一結論，同時發現膨脹環各位置單元的應力變化規律也不一致；

（2）理論分析認為通過膨脹環外壁速度歷史求解出的應力可能略高于膨脹環內的平均應力，利用數值模擬獲得的速度歷史進行反向求解，求出的應力幅值高出膨脹環內的平均應力0.6%～1.7%，這一偏差完全來源于膨脹環實驗數據處理時的假定。

研究結果可為爆炸膨脹環實驗數據處理結果的修正提供參考。

［1］Johnson P C，Stein B A，Davis R S.Measurement of dynamic plastic flow properties under uniform stress［C］∥Symposium on the Dynamic Behavior of Materials.ASTM Special Publication，1963：195-198.

［2］Hoggatt C R，Recht R F.Stress-strain data obtained at high rates using an expanding ring［J］.Experimental Mechanics，1969，9（10）：441-448.

［3］Warnes R H，Duffey T A，Karpp R R，et al.An improved technique for determining dynamic material properties using the expanding ring［C］∥Shock Waves and High-Strain-Rate Phenomena in Metals.New York，1981：23-36.

［4］Warnes R H ，Karpp R R，Follansbee P S.The freely expanding ringtest—A test to determine material strength at high strain rates［J］.Journal De Physique IV，1985，46（C5）：583-590.

［5］Bar-on E，Ginsburg A.Failure strain of expanding ring and its application to other expanding bodies［J］.Journal De Physique IV，2003，110（1）：525-530.

［6］Al-Maliky N，Parry D J.Measurements of high strain rate properties of polymers using expanding ring method［J］.Journal De Physique IV，1994，4（C8）：71-76.

［7］Llorca F，Juanicotena A.Expanding ring test：Numerical simulation-application to the analysis of experimental data［J］.Journal De Physique IV，1997，7（C3）：235-240.

［8］湯鐵鋼，李慶忠，劉倉理，等.爆炸膨脹環實驗數據處理方法討論［J］.爆炸與沖擊，2010，30（5）：505-510.

TANG Tie-gang，LI Qing-zhong，LIU Cang-li，et al.A discussion of data processing techniques for expanding ring test［J］.Explosion and Shock Waves，2010，30（5）：505-510.

Discussion about one-dimensional stress presume for explosion expanding ring test＊

TANG Tie-gang，LI Qing-zhong，CHENG Yong-tao，TONG Hui-feng，LIU Cang-li
（National Key Laboratory of Shock Wave and Detonation Physics，Institute of Fluid Physics，China Academy of Engineering Physics，Mianyang621900，Sichuan，China）

A theory analysis of movement and stress state of explosion expanding ring has been carried out.The results show that one-dimensional stress presume may bring out the departure of velocity and stress of ring.The departure of velocity and stress has been estimated by theory analysis.The stress calculated by velocity of outer surface of ring is larger than the average stress on the section of ring.The numerical simulation has validated the results from theory analysis，and determined the range of stress departure carried by one-dimensional stress presume.

solid mechanics；one-dimensional stress；reverse calculation；expanding ring

13July 2009；Revised 13November 2009

TANG Tie-gang，ttg1974＠163.com

（責任編輯 曾月蓉）

O347 國標學科代碼：130·15

A

1001-1455（2010）06-0577-06

2009-07-13；

2009-11-13

國家自然科學基金項目（10872187）；沖擊波物理與爆轟物理國防科技重點實驗室基金項目（9140C6702010903）

湯鐵鋼（1974— ），男，博士，副研究員。

Supported by the National Natural Science Foundation of China（10872187）