強詣零Armendariz環

崔書英

（山東工商學院 數學與信息科學學院，山東 煙臺 264005）

1 引言

2 強詣零Armendariz環

定義1環R稱為強詣零Armendariz的如果對于任意的 f (x),g(x) ∈ R[x]，當 f( x)g(x)∈ Nil*(R )[x]時有ab∈ Nil*(R)，其中a,b分別是 f (x),g(x)的任何系數。

定理1 R是強詣零Armendariz環當且僅當 R/Nil*(R)是Armendariz環。

命題1 令R是環而I是R的理想滿足 I? Nil*(R)，那么R是強詣零Armendariz環當且僅當R/I是強詣零Armendariz環。

證明 注意到R/I的素理想恰具形式P/I，其中P是R的包含I的素理想，所以當 I? Nil*(R)時有，Nil*(R /I)=Nil*(R)/I 。由此仿照定理1的證明可證明命題1。

仿定理1的證明我們還可對詣零Armendariz環作出一個新的刻畫。

定理2 環R是詣零Armendariz的當且僅當對于任意的 f (x),g(x)∈ R[x ],如果 f (x)g(x)∈ Nil*(R )[x]，那么ab∈ Nil*(R)，其中a,b分別是 f (x),g(x)的任何系數。

證明 文獻[1](3128-3140)定理3.5證明了環R是詣零Armendariz的當且僅當 R /Nil*(R)是Armendariz的。基于此事實，仿定理1的證明不難證明定理2。

由文獻[1]中的結果知Armendariz環是詣零Armendariz的。然而并不能明顯看出強詣零Armendariz環也是詣零Armendariz的，為證明這一論斷的正確性我們需要下面的命題。

命題2 如果R是強詣零Armendariz環，那么 Nil (R)= Nil*(R)。*

證明 我們斷言如果a∈R滿足 a2∈ Nil(R)那么 aN (R)a ? Nil (R)。事實上對任意的 b∈ N(R),存在正**整數k≥2使得bk=0。由于

所以 aba∈ Nil*(R),從而斷言成立。如果 Nil*(R)≠ Nil*(R),那么存在 a∈ Nil*(R)，但是 a? Nil*(R)。因為a是冪零元所以存在最小的正整數k使得 ak? Nil*(R),但 ak+1∈ Nil*(R)。令b=ak,則 b? Nil*(R)，但是b2∈ Nil*(R)。由證明過的斷言可以知道 bN (R)b ? Nil*(R)。由 b∈ Nil*(R)知 RbR? Nil*(R),于是有bRbRb? Nil(R)。從而可以得到 (RbR )3=RbRbRbR ?Nil(R)。因為 Nil (R)是R的半素理想，所以***RbR? Nil*(R)。由此可知 b∈ Nil*(R),這是一個矛盾。命題得證。

由定理1，命題2和[1]定理3.5可得到下面的推論。

推論1 如果環R為強詣零Armendariz的，那么它為詣零Armendariz的。

由強詣零Armendariz的定義下列兩個命題都不是容易看出的。

命題3 Armendariz環是強詣零Armendariz環。

證明 設R是Armendariz環。由文獻[4]引理2.3知 Nil (R)= Nil*(R),而由文獻[1]又知R是詣零Armendariz*環，所以[1]定理3.5蘊含 R/Nil*(R)是Armendariz環，再由命題1知R是強詣零Armendariz環。

由于約化環是Armendariz的[5]14-17，定理1蘊含2-素環是強詣零Armendariz的。因此定理1和命題3蘊含強詣零Armendariz環是2-素環和Armendariz環的共同推廣。

定理3 環R是強詣零Armendariz的當且僅當其每個子環S是強詣零Armendariz的。

證明 設R是強詣零Armendariz的，那么 R/Nil*(R)是Armendariz的。從而其子環 (S+Nil*(R)/Nil*(R)也是Armendariz的。由于 S/S ∩ Nil*(R)?S+ Nil*(R)/Nil*(R),所以 S /S ∩ Nil*(R)是Armendariz的。我們斷言 S∩Nil*(R)?Nil*(S )。事實上，如果 a∈ S ∩ Nil*(R),那么a∈S且a是R中的強冪零元，所以R中以a為首項的任意m-序列有限步終止，因此S中以a為首項的任意m-序列也有限步終止，從而斷言成立。因為S /S ∩ Nil*(R)是Armendariz的以及 S∩Nil*(R)?Nil*(S )，由命題1和命題3可知S是強詣零Armendariz的。充分性是明顯的。

定理4 環R是強詣零Armendariz的當且僅當R[x]是強詣零Armendariz的。由此可知對強詣零Armendariz 環R有 N (R[x])= N(R)[x]。

注意到半交換環是2-素環所以是強詣零Armendariz環而詣零Armendariz環是弱Armendariz環[1]3128-3140，我們立即得到下列推論。

推論2 如果R是半交換環，那么R[x]是弱Armendariz環。[3]2607-2616

命題4 有限個強詣零Armendariz環的直積還是強詣零Armendariz的。

命題5 環R是強詣零Armendariz的當且僅當Tn(R)是強詣零Armendariz的。

推論3 環R是強詣零Armendariz的當且僅當 R[ x]/(xn)是強詣零Armendariz的其中(xn)是 xn在R[x]中生成的理想n≥2是正整數。

環R稱為弱Armendariz的如果對任意的 f (x),g(x) ∈ R[x]當 f(x)g(x)=0時必有 ab∈ N(R)其中a,b分別是 f (x),g(x)的任何系數[3]。由文獻[1]知詣零Armendariz 環是弱Armendariz 環。文獻[3]定理3.6證明了如果存在R的半交換理想I,使得R/I為弱Armendariz環則R也是弱Armendariz的。該結果可推廣到I是NI-環的情形，這里NI-環I是指I滿足條件 Nil*(I )= Nil(I )[8]186-199，顯然它是2-素環的推廣。

命題6 令I是環R的理想使得R/I為弱Armendariz，如果I是NI-環則R為弱Armendariz環。

推論 4 （[4，定理 3.6]） 令I是環R的理想使得R/I為弱 Armendariz，如果I是半交換環則R為弱Armendariz環。

最后我們來給出必要的例子。

例1 存在強詣零Armendariz環但不是2-素環，存在詣零Armendariz環但非強詣零Armendariz的。前者由文獻[1]例 4.8可知，因為存在非 2-素的 Armendariz環。由文獻[9]定理 6.6知存在不含單位元的單詣零環I。令R= E(I,Z)是I的單位化環其中Z是整數環[7]，則有 Nil*(R)= (I ,0),Nil (R)=0[7]，由命題2知R不是強詣*零Armendariz環。但 R / Nil*(I ) ? Z,所以R是詣零Armendariz環。此外由文獻[6]知存在素根為零的不含單位元的局部冪零環I。令 R= E(I,Z)則容易證明R是詣零Armendariz環。但它不是強詣零Armendariz環，否則將有 0=Nil (I,0)=Nil(R)=Nil*(R),這與 Nil*(R)=(I ,0)≠0相矛盾。**

[1]R. Antoine. Nilpotent elements and Armendariz rings[J]. J. Alg . 2008, (319): 3128-3140.

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