導(dǎo)體回路中感應(yīng)電動勢是如何分布的

桑芝芳

(蘇州大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 江蘇 蘇州 215006)

1 問題的提出

在某高中物理復(fù)習(xí)資料中有這樣兩道題.

圖1

原解析：回路中感應(yīng)電動勢為

感應(yīng)電流為

EF右側(cè)線框等效于長為L的導(dǎo)線，故右側(cè)感應(yīng)電動勢為ε1，所以

ε=2ε1+ε1

即

則E、F兩點之間的電壓為

UEF=ε′-I·2R=

【題目2】用均勻?qū)Ь€做成的正方形線框ABCD每邊長為0.2 m，E、F分別為AB、CD兩邊中點.正方形的一半AEFD放在和紙面垂直向里的勻強磁場中(圖1)，當磁場以10 T/s的變化率增強時，線框中點E、F之間的電勢差是

A.UEF=0.1 V

B.UEF=-0.1 V

C.UEF=0.2 V

D.UEF=-0.2 V

原答案：選項B正確，沒有具體解析.

某中學(xué)教師是這樣給學(xué)生解釋的：

回路中感應(yīng)電動勢為

設(shè)導(dǎo)線框每邊電阻均為R，則感應(yīng)電流為

E、F連線左側(cè)處于變化磁場中，而右側(cè)不處在變化磁場中.因此，感應(yīng)電動勢應(yīng)是由E、F連線左側(cè)導(dǎo)體產(chǎn)生的，右側(cè)導(dǎo)體相當于外電路，其等效電路圖如圖2，所以線框中點E、F之間的電勢差為

圖2

在這個問題中，感應(yīng)電動勢是由變化磁場引起的，實際上是變化磁場激發(fā)感生電場(或稱渦旋電場)，導(dǎo)體處在感生電場中時導(dǎo)體內(nèi)的自由電子受感生電場的作用，在導(dǎo)體內(nèi)部重新分布，從而在導(dǎo)體中產(chǎn)生感應(yīng)電動勢.因此，要知道各段導(dǎo)體中的感應(yīng)電動勢，必須先求出感生電場的分布.

2 軸向變化磁場激發(fā)的感生電場

在上述問題中的磁場是截面為半無限平面的軸向分布的變化磁場，根據(jù)文獻[1]，可以將截面為任意形狀的軸向分布的變化磁場看成由許多平行的截面為面元dS′的小柱體組成，如圖3所示.空間任

圖3

意一點P處的感生電場為

(1)

r×ez=(y-y′)ex-(x-x′)ey

dS′=dx′dy′

圖4

代入式(1)可得感生電場為

E=

(2)

令F(y′)=(x-x′)2+(y-y′)2

兩邊取全微分得

dF(y′)=-2(y-y′)dy′

則根據(jù)式(2)得x方向的感生電場為

(3)

同理可得y方向的感生電場為

(4)

再令X(x′)=(x-x′)，則dX=-dx′，于是(3)式可化為

應(yīng)用積分公式

可得

(5)

類似方法可進一步計算得y方向的感生電場為

Ey=

(6)

對于圖1所示磁場情況，建立如圖5坐標系，有b→∞，a2→∞，a1=0.此時對(5)、(6)式取極限可得

(7)

其中

即當x>0時，感生電場為Ex=0,Ey=-kx，此時感生電場沿y方向；當x<0時，E=0.

圖5

3 回路中感應(yīng)電動勢的分布

由電磁學(xué)知識，該變化磁場中任一導(dǎo)體上的感應(yīng)電動勢為

與用法拉第電磁感應(yīng)定律

計算結(jié)果一致.由此可知感應(yīng)電動勢分布在AD導(dǎo)線上，其他導(dǎo)線上電動勢為零，其等效電路圖如圖6所示.回路中的感應(yīng)電流為

圖6

因此線框中點E、F之間的電勢差為

由上述分析可知，題1原解答想當然地認為感應(yīng)電動勢的分布是不妥的；題2答案是正確的.但教師在解釋時也存在問題，并不是因為導(dǎo)體處在變化磁場區(qū)域才產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，不處在變化磁場區(qū)域就不產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，關(guān)鍵是看感生電場的分布.筆者認為這道題出現(xiàn)在高中物理復(fù)習(xí)資料中不太合適，一方面高中物理中沒有涉及到感生電場的計算，感生電動勢在導(dǎo)體中的分布等問題；另一方面，在感生電場、庫侖場共存時引入“電勢”概念也不值得鼓勵[4].

參考文獻

1 王萊. 截面異形的軸向變化磁場產(chǎn)生的感生電場. 大學(xué)物理, 2005,24(4):51

2 趙凱華，陳熙謀. 新概念物理教程·電磁學(xué).北京: 高等教育出版社,2006

3 郭碩鴻. 電動力學(xué). 北京: 高等教育出版社,1997

4 趙堅. 對渦旋電場中所謂“引入”電勢、電勢差概念問題的討論. 物理教師，2009,30(10)：6