對一道繩做功問題的探討

俞樹堂

(民樂縣第一中學 甘肅 民樂 734500)

【題目】如圖1所示，把A、B兩小球從圖1中位置同時由靜止釋放(線開始時拉直)，則兩小球向左下擺時，下列說法正確的是

A.線OA對A球做正功

B.線AB對B球不做功

C.線AB對A球做負功

D.線AB對B球做正功

解析：很多人錯選B答案，原因是沒有分析A、B運動的實際情況而造成的.如果能大致畫出A、B球的運動軌跡，那么就可以找出線與球的運動方向的夾角，進而可判定做功的情況.由OA線一直處于張緊且O點不動，所以A球做圓周運動，OA線對A球不做功.而B球是否與A球同步下擺而做圓周運動呢?

圖1

參考答案的思路是：設想A、B兩球分別用兩條細線懸掛而各自擺動，若擺角較小時有擺動周期

圖2

可見擺長越長，擺得越慢，因此A球比B球先到達平衡位置.可見線AB的張力對A球有阻礙運動之作用，而對B球有拉動運動之作用(圖2)，所以正確答案為C和D.

筆者認為采用小角度的單擺處理問題，用特殊情形來替代一般情形欠妥.如果從較大角度或水平靜止伸直狀態自由釋放，在以后運動中懸線與兩物體有無可能保持共線呢?不妨用鐵支架將A、B兩球連接起來，然后進行實驗，如圖3所示，很容易發現線呈折線，AB線是阻礙了A球的運動，加快了B球的運動.因而，對B球做正功，對A球做負功.

在一般情況下的擺所作的擺動，不是簡諧運動，而是一種非線性振動，由人教版《物理·必修1教學參考書》相關內容可知這種擺的周期表達式為

圖3

表達式中θ0為擺角，從此表達式可以看出即使在任意擺角下，TB>TA，即A、B下擺時不同步.

圖4

嚴格的證明可采用反證法來進行.令A、B兩球的質量分別為m1、m2，OA及AB的線長分別為l1、l2.設系統始終能保持直線狀態，那么在轉過θ角時系統處于圖4所示的方位.兩線對質量為m1的A球施加的作用力只能沿直線方向，A球的切向加速度只能來源于m1g的切向分量，即有

m1gcosθ=m1aτ1

因此

aτ1=gcosθ

同理可知，質量為m2的B球的切向加速度為

aτ2=gcosθ

既然兩個小球都在做圓周運動，各自對應的角加速度分別為

顯然有

β1≠β2

若系統運動過程中始終保持直線狀態，便要求恒有β1=β2，于是前后矛盾.因此系統在運動過程中，兩線與兩小球不可能始終共線.