圓形磁場中的趣味對稱問題

劉家璞 袁本利

(丹江口市一中 湖北 丹江口 442700)

不計重力的帶電粒子在進入圓形勻強磁場區(qū)時，運動呈現(xiàn)出有趣的對稱性．

圖1

(1)粒子沿半徑方向進場，必然沿半徑方向出場

如圖1所示，帶正電的粒子沿AO方向進入磁場，O′為粒子軌跡圓圓心，∠OAB+∠BAO′=∠OBA+∠ABO′=90°, 而∠BAO′=∠ABO′,所以∠OAB=∠OBA，即OB一定沿半徑方向．

圖2

(2)粒子進出磁場時與磁場圓半徑之間的夾角必然相等

如圖2所示，帶正電的粒子沿AC方向進入磁場，從B點射出，O′為粒子軌跡圓圓心.由平面幾何知識容易證得∠OAC=∠OBC.

(3)當粒子軌跡圓半徑與磁場區(qū)域圓半徑相等時，與在同等條件下以不同方向進場的各粒子，在出場時速度方向必然互相平行

圖3

(4)當粒子軌跡圓半徑與磁場區(qū)域圓半徑相等時，在同等條件下互相平行進入圓形磁場區(qū)的粒子，雖然進場時位置不同，必然從同一點出磁場

由上述第三種情況知，類似于光路可逆性，在圖3中各粒子若帶負電，只要粒子軌跡圓半徑與磁場區(qū)域圓半徑相等，當都沿與OB平行的方向進入磁場時，必然都從A點出磁場．這就是在實際中應用非常廣泛的磁聚焦．

上述對稱性應用很廣泛，在2009年高考浙江省和海南省試卷都有這類問題.下面是一個實際應用的例題.

例題：人們到醫(yī)院檢查身體時，其中有一項就是做胸透.做胸透用的是X光，……我們可以把做胸透的原理等效如下：如圖4所示，P是一個放射源，從開口處在紙面內(nèi)向各個方向放射出某種粒子(不計重力)，而這些粒子最終必須全部垂直射到底片MN這一有效區(qū)域，并要求底片MN上每一地方都有粒子到達．若放射源射出的是質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，且所有的粒子速率都是v，M與放射源的出口在同一水平面，底片MN豎直放置，底片MN長為L．為了實現(xiàn)上述目的，我們必須在P的出口處放置一有界勻強磁場．求：

圖4

(1)勻強磁場的方向.(垂直紙面向外)