歸類例析圓形邊界磁場中的圓弧運動

徐正恒

(衡陽縣第一中學 湖南 衡陽 421200)

帶電粒子在圓形邊界磁場中運動是歷年來高考的一個重點和熱點，題型多，裝置復雜，解答方法也很多，突出考查學生分析綜合能力和應用數學知識處理物理問題的能力．下面就該問題進行歸類分析，探究這一問題快捷、有效的解答方法．

1 內圓形邊界

1．1 正對圓心從圓形邊界外射入磁場

帶電粒子在磁場中運動速度v越大→軌道半徑R越大→圓心角α及偏向角β越小，所以粒子在磁場中運動的時間t越小．

求帶電粒子在磁場中運動的時間t的方法是連接兩圓圓心O2O(圖1)，求出圓心角α.設磁場圓半徑為r，軌跡圓半徑為R，則

所以

又

所以

圖1

【例1】如圖2所示，在半徑為R的圓形區域內，有磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場；a、b、c三點均勻分布在圓周上，三對電壓為U、間距為d的平行金屬板通過三點與圓相切，并有小孔通向磁場．一個質量為m、電荷量為+q的粒子，從S點由靜止開始運動，經過一段時間恰好又回到S點，試問：

(1)電壓U與磁感應強度B應滿足什么關系？

(2)粒子從S出發到第一次返回S需多長時間？

圖2

所以

粒子在電場中運動時間為

所以運動總時間為

1.2 從圓形邊界外任一點射入磁場

【例2】如圖3所示，半徑R=10 cm的圓形勻強磁場區域邊界跟y軸相切于坐標系原點O，磁感應強度B=0.332 T，方向垂直于紙面向里，在O處有一放射源，可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子，已知α粒子的質量m=6.64×10-27kg，電荷量q=3.2×10-19C．

(1)畫出α粒子通過磁場空間做圓周運動的圓心點軌跡，并說明作圖的依據；

(2)求出α粒子通過磁場空間的最大偏轉角；

(3)再以過O點并垂直于紙面的直線為軸旋轉磁場區域，能使穿過磁場區且偏轉角最大的α粒子射到正方向的y軸上，則圓形磁場區的直徑OA至少應轉過多大角度？

圖3

圖4

(2)α粒子在磁場中做圓弧運動中的軌跡半徑為r大小一定，欲穿過磁場時偏轉角最大，須圓弧軌道所夾的弦最大，即OO′A共線，如圖5所示．

圖5

⑶欲使穿過磁場且偏轉角最大的α粒子能射到y軸正方向上，必須使從A點射出的 粒子和x軸正方向的夾角大于90°，根據幾何關系可知圓形磁場至少轉過60°．

1.3 對圓心射入并與圓形邊界多次碰撞反彈

【例3】在半徑為r的圓筒中，有沿筒的軸線方向的勻強磁場，磁感應強度為B．一個質量為m，帶電荷量為+q的粒子以速度v從筒壁A處沿半徑方向垂直于磁場射入筒中，如圖6(a)所示，若它在筒中只受洛倫茲力作用且與筒壁發生彈性碰撞，欲使粒子與筒壁連續相碰撞繞筒壁一周仍從A處射出，則B必須滿足什么條件？

圖6

解析：設粒子從A處射入經與筒壁n次碰撞后，又從A處射出(含返回A處將射出時與A的碰撞)，由圖6(b)知粒子在磁場中軌道半徑R與圓筒半徑r的關系是

R=r·tanα

而圖6(b)表示的是n=2時的情況．當n>2時，同樣分析可得到關于B的相同的表達式，所以

2 圓環形邊界

(1)若氦核沿磁場區域的半徑方向、平行于截面從A點射入磁場，畫出氦核在磁場中運動而不穿出外邊界的最大圓軌道示意圖，并求出其軌道半徑和最大速度．

(2)若氦核平行于截面從A點沿各個方向射入磁場都不能穿出磁場外邊界，求氦核的最大速度．

(3)若氦核平行于截面從A點沿各個方向射入磁場，不能穿出磁場外邊界的氦核的最大速度為多少？

圖7 圖8

解析：(1)根據幾何知識可得，所求軌跡是圓周的一部分，且當與外圓相切時最大，如圖8中曲線Ⅰ所示．

由圖中幾何關系可得

又由

得

(2)根據題意分析.當氦核以vm的速度沿與內圓相切的方向射入磁場且軌道與同一側外圓相切時，則以vm速度沿各方向射入磁場區的氦核都不能穿出磁場外邊界，如圖8中曲線Ⅱ所示．由圖中幾何關系知

再由洛倫茲力提供向心力得

故

氦核不穿出磁場外邊界應滿足的條件是

代入數據可求出

(3)根據題意分析.當氦核以vm的速度沿與內圓相切的方向射入磁場且軌道與另一側外圓相切時，是不能穿出磁場外邊界的氦核的最大速度，如圖8中曲線Ⅲ所示．由圖中幾何關系知

再由洛倫茲力提供向心力得

故

氦核不穿出磁場外邊界的最大速度應滿足的條件是

代入數據可求出

3 圓弧組合型邊界

【例5】在xOy平面內有許多電子(質量為m，電荷量為e)，從坐標原點O不斷地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限，如圖9所示．現加一個垂直于xOy平面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，要求這些電子穿過磁場區域后都能平行于x軸向x軸正方向運動．求符合該條件磁場的最小面積．

圖9

以上通過例題歸類分析了帶電粒子在各種圓形邊界磁場中的部分圓弧運動，從中可以看出定圓心、畫軌跡、求半徑是解答的關鍵,巧妙地運用運動特點和幾何關系準確地分析臨界狀態、靈活地運用物理規律是簡捷解答的重要方法，按照這樣步驟和方法，再難的問題也就能迎刃而解了．