“田字變化”類型的網(wǎng)絡(luò)電路求解

顧春杰 王軍明

(奉化市奉化中學(xué) 浙江 奉化 315500)

在高中物理恒定電流一章中，我們總會討論二端無源電阻網(wǎng)絡(luò)求等效電阻的問題．其中“田”字形網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)較多，小小“田”字可以有“大變化”.圖1是一個田字形電阻網(wǎng)絡(luò)，先不妨把A1、A2、A3、A4稱為“頂”，把B1、B2、B3、B4稱為“腰”，而O稱為“心”．則可把“田”字形網(wǎng)絡(luò)分為，頂-頂；腰-腰；頂(腰)-心；頂-腰，共4大類，8種變化形式．

圖1 田字形電阻網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)“田”字網(wǎng)絡(luò)的對稱性，假設(shè)兩端加上電壓，總能找到電勢相等的點(diǎn)，那么就可以將接在等電勢節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線或電阻斷開(即去掉)，也可以用導(dǎo)線或電阻將等電勢節(jié)點(diǎn)連接起來，此種處理所得電路與原電路等效．

下面我們一一討論．

1 “頂-頂”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

1.1 對角頂點(diǎn)間等效電阻

已知“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)每邊的電阻均為R，求A1、A3間的等效電阻．(以下求解問題類同)

分析與解1：假設(shè)A1A3兩端加電壓，電流從A1流進(jìn)，A3流出，因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)相對A1A3連線對稱，故中心O點(diǎn)可斷開，如圖2所示.利用電阻的串并聯(lián)知識易得，A1A3間等效電阻

圖2

圖3

1.2 相鄰頂點(diǎn)間等效電阻

圖4

2 “腰-腰”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

2.1 相鄰腰間等效電阻

圖5

2.2 相對腰間的等效電阻

分析與解：假設(shè)B1B3兩端加電壓，電流從B1流入，B3流出，此情景與1.2小節(jié)情形相似，B2、B4、O都是等勢點(diǎn)，處理方法亦相同，如圖6所示電路.利用串并聯(lián)知識易得B1B3間等效電阻RB1B3=R.

圖6

3 “頂(腰)-心”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

3.1 頂對心的等效電阻

圖7 圖8

3.2 腰對心的等效電阻

圖9 圖10

4 “頂-腰”作為二端網(wǎng)絡(luò)的端口

4.1 相鄰頂腰間的等效電阻

圖11

圖12 圖13

分析與解：圖11是一個不對稱的問題，針對這種不對稱情況，我們設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為對稱的情形.運(yùn)用疊加原理，圖11相當(dāng)于圖12和圖13兩種對稱情況的疊加，此種處理與原情況等效．分別算出兩種對稱情況下流過A1B4邊的電流，疊加得圖11中流過A1B4邊的電流，再利用UA1B4=RA1B4×I，求解等效電阻RA1B4．

圖14 圖15

4.2 相間頂腰間的等效電阻

圖16

圖17 圖18

圖19 圖20

5 拓展：看似不是“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)的問題

三只相同的金屬圓圈，兩兩正交的連成圖21(a)所示的形狀．若每一只金屬圈原長的電阻為r，試求圖中A、B兩點(diǎn)間的等效電阻RAB．

圖21

以上我們討論了“田”字形無源二端網(wǎng)絡(luò)的8種變化及立體網(wǎng)絡(luò)可轉(zhuǎn)化為“田”字形網(wǎng)絡(luò)的情形.分析歸納得出“田”字形無源電阻網(wǎng)絡(luò)處理的一般方法：假設(shè)二端加上電壓，電流從網(wǎng)絡(luò)一端流進(jìn)，另一端流出，根據(jù)電路的對稱性找到電勢相等的一系列點(diǎn)，采用“斷開、去除、折疊”等手段簡化網(wǎng)絡(luò)，利用簡單串并聯(lián)電路的規(guī)律求解等效電阻，較為復(fù)雜的情況需要用到電路的疊加原理和求解電流分布來確定等效電阻．事實(shí)上在求解具體問題時，往往多種手段集于一題，問題才能解決．以上是筆者在指導(dǎo)競賽過程中的一點(diǎn)不成熟的思考，還望各位物理同仁批評指正．

參考文獻(xiàn)

1 范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo).南京：南京師范大學(xué)出版社，2008

2 程稼夫．中學(xué)奧林匹克競賽物理教程·電磁學(xué)篇.合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2004