兩等量同號點電荷中垂線上場強的極大點

楊雄生

(北京教育學(xué)院朝陽分院 北京 100026)

兩等量點電荷連線的中點的場強為零，中垂線上無限遠(yuǎn)處的場強也為零，中垂線上其他點的場強不為零且是連續(xù)變化的，所以，中垂線上有個場強最大值的點．

這個場強最大值的點在那里？

在討論庫侖場的場強問題時，常常會碰到上述問題.如果我們能明確知道這個場強最大值的位置，那么，對討論問題有很大的幫助．本文就討論這個問題．

如圖1所示，為方便討論，假定兩點電荷的距離為2L．

圖1

大家知道，A、B兩點電荷在其中垂線上某點P的合場強為

(1)

積化和差，上式可轉(zhuǎn)化為

(2)

上兩式中，Q為點電荷所帶的電荷量，k為靜電力常量，α為點電荷到P點的連線與兩點電荷連線的夾角．

由于對稱性，本例上下應(yīng)有兩個最大值的位置，我們只討論連線上方的．根據(jù)題意(1)與(2)式自變量α的取值范圍為0°至90°．

為求極值點，先對(2)式其求導(dǎo)數(shù)為

(3)

上式導(dǎo)數(shù)為零的α，可能為極值的位置.我們采用無限逼近的方法來確定最大值的位置．即

3cos3α+cosα=0

(4)

分析上式可知，只有3α超過90°，才可能為零．先試α=40°，發(fā)現(xiàn)3cos3α值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于cosα，說明α角度大多了，應(yīng)減小；再選α=35°，發(fā)現(xiàn)3cos3α值小于cosα，說明α角小了；但兩者相差不多，所以選α=36°，發(fā)現(xiàn)3cos3α大于cosα，說明α角大了；再選α=35.5°.同樣的推斷，由α=35.5°進而α=35.25°；再進而α=35.27°；再進而α=35.26°；最后α=35.265°，這時3cos3α比cosα大0.000 098 399，合場強最大．上述的推理計算過程反映在表1中．

表1

α/( °)35.2535.2735.2635.265cosα0.816 60.816 40.816 540.816 490 433cos3α-0.814 3-0.817 3-0.815 83-0.816 588 829

本例也可以不用求導(dǎo)，直接由(1)式或(2)式用無限逼近法求得最大場強處．只是逼近的次數(shù)較多，不如上述方法簡便，其逼近過程略．