運用分類方法 突破高考難點
——關于帶電粒子在勻強磁場中運動問題的求解策略研究

周棟梁

(灌南高級中學 江蘇 灌南 222500)

1 問題的提出

帶電粒子在勻強磁場中的圓周運動問題一直是高考中的熱點和難點；解決此類問題的關鍵是確定運動軌跡的圓心.為此，本文首先找出確定圓心的三種基本方法，然后以此為基礎提出新的分類標準，突出分類方法對研究方向的導向作用，進而形成有效的求解策略．

2 確定圓心的三種基本方法

帶電粒子在勻強磁場中做圓周運動時，有多種確定圓心的方法，但是下面三種方法是最基本的．

2.1 中垂線法

已知入射點、入射方向及出射點，但其軌道半徑未知，可用“中垂線法”確定圓心位置．

如圖1(a)所示，一帶負電離子，以速度v垂直于界面s經過小孔O射入圖示的勻強磁場中，并能通過磁場中的P點．對于此類情況，其確定圓心的方法如下:

(1)過O點作入射方向的垂線;

(2)作OP連線的中垂線，兩線交點O′即為其圓心，如圖1(b)．

圖1

如果已知入射點、出射點及出射方向，其確定圓心的方法與此相同．

2.2 角平分線法

已知入射點及運動方向、出射方向，且它們的交點位置也是確定的，但其軌道半徑未知，可用“角平分線法”確定圓心位置．

如圖2(a)所示，一帶正電的粒子從M點沿圖示方向垂直射入勻強磁場中，并沿圖示方向射出勻強磁場．對于此類情況，其確定圓心的方法如下:

(1)過M點作入射方向的垂線;

(2)反向延長出射方向所在的直線，與入射方向交于點O;

(3)作角α的角平分線，則兩線的交點O′即為其圓心，如圖2(b)．

如果已知出射點、出射方向及入射點，確定圓心的方法與此相同．需要說明的是，如果入射方向與出射方向的交點未知，則無法確定圓心的位置．

圖2

2.3 量取法

如果軌道半徑r已知，且入射點、入射方向也是已知的，則可用“量取法”確定圓心位置．具體方法是：過入射點作入射方向的垂線，在粒子所受洛倫茲力方向上量取距長為r的線段，對應的點即為帶電粒子做圓周運動的圓心．如果已知出射點和出射方向，方法同上．

以上三種方法是確定圓心的最基本的方法，對于其他情況，可用這三種基本方法的組合來確定．

3 題型分類方法及其求解策略

3.1 題型分類方法

圓心的位置是由入射點、入射方向、出射點、出射方向及軌道半徑五個因素中的某幾個決定.但如以這五個因素的組合作為分類標準，所得的類別太多，不便于對求解策略進行研究．為此，本文以入射點、入射方向、出射點、出射方向四個因素的組合為分類標準，計有C44+C43+C42+C41=15種，再在此基礎上，結合圓心確定方法的異同，進一步進行歸類，計有表1中9類題型．

表1

3.2 分類研究

在以上9類題型中，第1、2類問題較為簡單，限于篇幅不再分析．另外，在各類題型中，僅以表中的第一種情況加以研究，另外一種情況與其相同，故也不再分析．

(1)第3類 已知入射點、入射方向和出射方向

對于此類問題，分兩種情況進行研究．

1)已知帶電粒子的軌道半徑，用“量取法”確定圓心．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則

a.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；

b.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向與出射方向的交點位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置．

【例1】(根據2004年寧夏等地高考題改編) 一勻強磁場，磁場方向垂直于xOy平面．在xOy平面上，磁場分布在以O為中心的一個圓形區域內．一個質量為m、電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速為v，方向沿x正方向．后來，粒子經過y軸上的P，此時速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖3所示．不計重力的影響．求：

(1)磁感強度B的大小；

(2)xOy平面上圓形磁場區域的最小半徑R．

圖3 圖4

分析：本題是一種典型的運用“角平分線法”確定圓心的問題．反向延長出射方向所在的直線，交入射方向于M點，作∠OMP的角平分線交于y軸上的O′，則O′為帶電粒子做圓周運動的圓心．

過O′作PM的垂線，其交點P′即為帶電粒子射出磁場區域的位置(圖4)，OP′即為磁場區域的最小直徑，至此容易求出磁感強度B的大小和圓形磁場區域的最小半徑．

(2)第4類 已知入射點及入射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，用“量取法”確定圓心.

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則

a.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置．

b.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向與出射方向的交點位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置．

【例2】(根據2007年全國高考理綜Ⅰ題改編)如圖5所示，在 ，y>0,00,x>a，的區域有垂直于紙面向外的勻強磁場，兩區域內的磁感應強度大小均為B．一束質量為m、電荷量為q(q>0)的粒子沿x軸從O點射入磁場，其速度可取從零到某一最大值之間的各種數值．已知速度最大的粒子在0<

圖5

分析：帶電粒子要打在x軸上，一定是先經右側磁場偏轉后再進入左側磁場偏轉．為找出一般規律，不妨設帶電粒子從圖6中的M點進入右側磁場區域，則其在左側磁場中的運動就變為已知入射點、入射方向及出射點類型，用“中垂線”法可確定其圓心在O1點，線段O1M的長度即為其軌道半徑．過M點作O1M的垂線，即可知道它進入右側磁場的運動方向，由于左右兩側的磁感應強度相等，故其在右側磁場中運動的軌道半徑也等于線段O1M的長度，于是帶電粒子在右側磁場中運動的圓心可歸結為已知入射點、入射方向且其半徑也是已知的類型，則由“量取法”可知它的圓心位置在x=2a的直線上(圖6)．

由圖可知，α角越大，它打在x軸上的位置就越近，因此，打在x軸上的最近位置對應于帶電粒子的圓心在(a,a)點，打在x軸上的最近位置是x=2a．至于滿足條件的最遠點位置，由題中的時間關系，計算出α=30°、β=90°，即其圓心在(2a,0)點．至此，本題不難求解．

圖6

(3) 第5類 已知入射點及出射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)如果已知帶電粒子的軌道半徑，由運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向或出射點的位置，可由“量取法”確定圓心位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則

a.由運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由“中垂線法”確定出圓心的位置；

b.由運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向、出射方向的交點位置，由“角平分線法”確定出圓心的位置.

圖7

(1)粒子在A點進入磁場時，其速度方向與x軸方向之間的夾角及打到擋板MN上的位置到x軸的距離；

(2)粒子到達擋板上時的速度大小．

分析：本題為復合場問題，但其關鍵還是帶電粒子在勻強磁場中的運動．通過對其在電場中的運動分析，可確定帶電粒子在勻強磁場中的運動屬于已知入射點及出射方向，并能求出帶電粒子的軌道半徑，由“量取法”可確定出圓心的兩個可能的位置，見圖8，至此問題就很容易得到解決．

圖8

另外，要注意到在此類問題中，由于題給信息中已知點與運動方向不是聯系在一起的，因而在命題時，常以粒子束的形式出現，此時需要關注一些特殊位置處的粒子的運動情況．比如2009年海南高考試題中的磁場類問題就屬于此類問題，限于篇幅，不再贅述．

(4)第6類 已知入射點和出射點位置

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，由“中垂線法”可知，圓心在入射點、出射點連線的中垂線上，再用“量取法”可定出圓心的兩個可能位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知.

由運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射或出射方向，由“中垂線法”確定圓心的位置．

圖9

【例4】(1999年全國高考題) 圖9中MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在著一磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向外．O是MN上的一點，從O點可以向磁場區域發射電荷量為+q、質量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內各個方向．已知先后射人的兩個粒子恰好在磁場中給定的P相遇，P到O的距離為L．不計重力及粒子間的相互作用．

( 1 )求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑；

( 2 )求這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔．

圖10

分析：在本題中，已知入射點、出射點，并能求出軌道半徑 ，因此可以把“中垂線法”和“量取法”結合起來，確定出圓心兩個可能的位置O1、O2．

以O1、O2為圓心，r為半徑作圓Ⅰ、Ⅱ，連接O、P、O1、O2(圖10)，設∠OO2O1=α，則由幾何關系可求得

至此，容易求得對應的時間差．

(5)第7類 已知入射方向、出射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，則

a.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射點或出射點的位置，由“量取法”確定圓心的位置．

b.根據入射方向與出射方向的交點位置，則結合“量取法”和“角平分線法”可確定圓心的位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，則根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射點或出射點的位置以及入射方向與出射方向的交點位置，由“角平分線法”確定圓心的位置．

【例5】如圖11所示，P點與R點關于坐標原點對稱，距離為2a．有一簇質量為m、電荷量為q的離子，在xOy平面內，從P點以同一速率υ，沿與x軸成θ(0°<θ<90°)的方向射向同一個垂直于xOy平面的有界勻強磁場，磁感應強度為B，這些離子的運動軌跡對稱于y軸，聚焦到R點．

圖11

(1)求離子在磁場中運動的軌道半徑r；

(2)若離子在磁場中運動的軌道半徑為a時，求與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間t；

(3)試推出在x=0的區域中磁場的邊界點坐標x與y之間滿足的關系式．

分析：對于第(2)、(3)兩問題，屬于已知入射方向、出射方向且軌道半徑也是已知的，因此可用“角平分線法”、“量取法”根據題設條件能求出軌道半徑，具體方法如下:

1)如圖12所示，過P、R作與x軸成30°的直線，其延長線交y軸于Q點．

2)由于軌跡關于y軸對稱，故其圓心在y軸上，且y軸為∠PQR的角平分線，∠PQO′=60°．

至此對(2)、(3)兩問的求解也就水到渠成了．

圖12

(6)第8類 已知入射方向

對于此類問題，分兩種情況研究.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，則根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定出入射點的位置，由“量取法”確定圓心的位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，要確定圓心的位置，則

a.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射點和出射點的位置，由“中垂線法”確定圓心的位置．

b.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射方向及入射方向和出射方向的交點位置，則“角平分線法”可確定圓心的位置．

c.如果在題給條件中，以粒子束的方式呈現有關信息，此時需要關注其中的隱含條件、臨界條件．

【例7】(根據2009年浙江高考題改編)如圖13所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上．在半徑為R的圓內有與xOy平面垂直向外的勻強磁場．在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電粒子．發射時，這束帶電粒子分布在0

圖13

分析：本題僅知道粒子束的入射方向和磁場邊界的形狀，運用三種基本方法都無法確定其圓心，此時需要根據粒子束的運動特點，選取特殊位置的粒子為研究對象，確定軌道半徑大小和出射點的位置．具體方法如下.

選擇非常接近于O處的帶電粒子為研究對象，則其經過磁場的偏轉后，其射出磁場的位置應在其下方，由此可以推知，射出磁場的點就是O點；以非常接近于頂端粒子或從C射入的粒子為研究對象，它要經過O點，其軌道半徑應等于磁場區域的半徑R．在運用上面的極端分析方法后，需要用作圖方法進行檢驗，至此，可以確定出出射點的位置，并求出磁感應強度．

(7) 第9類 已知入射點的位置

對于此類問題，分兩種情況討論.

1)已知帶電粒子的軌道半徑，則

a.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定出射點的位置，由確定圓心兩個可能的位置.

b.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向，由“量取法”可確定圓心的位置．

2)如果帶電粒子的軌道半徑未知，要確定圓心的位置，則

a.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向和出射點的位置，由“中垂線法”確定圓心的位置.

b.根據運動軌跡與邊界的交點關系，確定入射方向、出射方向及兩方向的交點位置，則“角平分線法”可確定圓心的位置．

【例8】如圖14所示，在直角坐標系的原點O處有一放射源，向四周均勻發射速度大小相等、方向都平行于紙面的帶電粒子．在放射源右邊有一很薄的擋板，擋板與xOy平面交線的兩端M、N與原點O正好構成等腰直角三角形．已知帶電粒子的質量為m，帶電量為q，速度為v，MN的長度為L．若在整個空間加一方向垂直紙面向里的勻強磁場，要使板右側的 連線上都有粒子打到，磁場的磁感應強度不能超過多少(用m、v、q、L表示)?若滿足此條件，放射源O向外發射出的所有帶電粒子中有幾分之幾能打在板的左邊?

圖14

分析：本題僅知道入射點的位置，故用三種基本方法無法確定其圓心位置，但題給條件中還有部分粒子出射點位置的集合，因此本題在確定臨界狀態的圓心位置時，首先考慮運用“中垂線法”方法確定圓心位置，具體方法如下．

由于對稱性，不妨假設帶電粒子帶正電，磁場的方向垂直紙面向外．對于本題而言，要計算磁感應強度的最大值，不妨猜測帶電粒子恰好能打在MN右側的臨界條件是：帶電粒子從O射出經M點后又恰好經過N點，即M、N都在同一圓上，則由“中垂線法”可知，此時帶電粒子的圓心既在OM的中垂線上，又在ON的中垂線，故其圓心就是O′點．當然，這種猜測是否正確，需用作圖方法加以檢驗，具體方法如下.

圖15

至此運用“猜測—檢驗”模式，使問題得到解決．這樣容易得出磁感應強度的最大值為