高考中兩種曲線運動的綜合問題的分析

黃治芳 張 志 鋒

(商南高級中學(xué) 陜西 商南 726300)

圓周運動和(類)平拋運動是高中物理中兩種典型的曲線運動;前者為變速曲線運動，后者為勻變速曲線運動.在考題中往往把兩種運動綜合在一起形成較為復(fù)雜運動問題，以下舉例分析，以便共同探討．

1 相遇問題

當(dāng)兩物體分別做平拋運動和圓周運動而在空間相遇時，注意從時間和空間的角度去分析，結(jié)合各自的運動規(guī)律，尋求等量關(guān)系，來解決此類問題．

圖1

(1)電場強度E的大小是多少？

圖2

解析：小球1與小球2相碰后同時開始分別做圓周運動和平拋運動，在運動過程中相遇，具有等時性.如圖2所示分別為圓周運動和平拋運動的軌跡，在M點相遇，有著對應(yīng)的幾何關(guān)系．

(1)小球1所受的重力與電場力始終平衡，有

m1g=q1E

E=2.5 N/C

(2)相碰后小球1做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得

兩小球碰后到相遇的運動時間為

L=R=v2t

得v2=3.75 m/s

兩小球第一次碰撞前后動量守恒，以水平向右為正方向，則有

m1v0=-m1v1+m2v2

兩小球質(zhì)量之比

2 運動的突變

當(dāng)物體做平拋運動時，在某時刻受到約束，突然變化為圓周運動.在兩種運動銜接時，經(jīng)過一個運動的突變過程，在此時不可忽視速度的突變，應(yīng)注意速度的分解．

(1)輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角；

(2)當(dāng)質(zhì)點到達O點的正下方時，繩對質(zhì)點的拉力.

圖3

解析：質(zhì)點先做平拋運動，當(dāng)繩繃直瞬間，質(zhì)點的速度發(fā)生突變：沿繩方向的速度突變?yōu)?，質(zhì)點為將由平拋運動突變?yōu)閳A周運動．

(1)第一過程：質(zhì)點平拋運動，設(shè)繩即將繃直時，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖3示.則有

lsinθ=v0t

代入v0聯(lián)立解得

(2)第二過程：繩繃直過程，在繩繃直時速度突變?yōu)関⊥，且有

(3)第三過程：質(zhì)點在豎直平面內(nèi)做圓周運動,設(shè)質(zhì)點到達O點正下方時，速度為v′，由動能定理得

設(shè)質(zhì)點到達最低點時繩的拉力為T，則

3 運動的鏈接

3.1 從平拋運動到圓周運動

物體先做平拋運動，后過渡為圓周運動，在這樣的運動鏈接時，類平拋運動的末速度的大小即為勻速圓周運動中的速率，同時在兩種運動中還存在著一定的幾何關(guān)系，應(yīng)注意兩種運動中的聯(lián)系．

【例3】(2009年天津高考題)如圖4所示，直角坐標(biāo)系xOy位于豎直平面內(nèi)，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應(yīng)強度為B，方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經(jīng)x軸上的M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L，小球過M點時的速度方向與x軸的方向夾角為θ.不計空氣阻力.重力加速度為g.求：

(1)電場強度E的大小和方向；

(2)小球從A點拋出時初速度v0的大小;

(3)A點到x軸的高度h.

圖4

解析：本題中小球先做平拋運動，后在復(fù)合場中做勻速圓周運動，由平拋運動過渡到圓周運動．

(1)小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，說明電場力和重力平衡，有

qE=mg

(1)

重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強度方向豎直向上．

圖5

(2)小球做勻速圓周運動，O′為圓心，MN為弦長，∠MO′P=θ，如圖5所示．設(shè)半徑為r，由幾何關(guān)系知

(2)

小球做勻速圓周運動的向心力由洛倫茲力提供，設(shè)小球做圓周運動的速率為v，有

(3)

由速度的合成與分解知

(4)

由(2)、(3)、(4)式得

(5)

(3)設(shè)小球到M點時的豎直分速度為vy，它與水平分速度的關(guān)系為

vy=v0tanθ

(6)

由勻變速直線運動規(guī)律

vy2=2gh

(7)

由(5)、(6)、(7)式得

(8)

3.2 從圓周運動到平拋運動

物體先做圓周運動，后過渡為類平拋運動，在這樣的運動鏈接時，圓周運動中速率即為類平拋運動的初速度的大小，同時在兩種運動中還存在著一定的幾何關(guān)系.應(yīng)注意兩種運動中的聯(lián)系．

圖6

【例4】(2009年全國高考卷Ⅱ)如圖6，在寬度分別為l1和l2的兩個毗鄰的條形區(qū)域分別有勻強磁場和勻強電場，磁場方向垂直于紙面向里，電場方向與電、磁場分界線平行向右．一帶正電荷的粒子以速率v從磁場區(qū)域上邊界的P點斜射入磁場，然后以垂直于電、磁場分界線的方向進入電場，最后從電場邊界上的Q點射出．已知PQ垂直于電場方向，粒子軌跡與電、磁場分界線的交點到PQ的距離為d．不計重力,求電場強度與磁感應(yīng)強度大小之比及粒子在磁場與電場中運動時間之比．

解析：本題考查帶電粒子在有界磁場中的運動.粒子在磁場中做勻速圓周運動，如圖7所示．由于粒子在分界線處的速度與分界線垂直，圓心O應(yīng)在分界線上,OP長度即為粒子運動的圓弧的半徑R.，由幾何關(guān)系得

R2=l12+(R-d)2

(9)

圖7

設(shè)粒子的質(zhì)量和所帶正電荷分別為m和q,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得

(10)

設(shè)P′為虛線與分界線的交點,∠POP′=α,則粒子在磁場中的運動時間為

(11)

式中用了關(guān)系

(12)

粒子進入電場后做類平拋運動,其初速度為v,方向垂直于電場.設(shè)粒子的加速度大小為a.由牛頓第二定律得

qE=ma

(13)

由運動學(xué)公式有

(14)

l2=vt2

(15)

由(9)、(10)、(13)、(14)、(15)式得

(16)

由(9)、(11)、(12)、(15)式得