用靜力簡化方法計算地震作用下橋墩的彈塑性變形

王富君

(中鐵第五勘察設計院集團有限公司,北京 102600)

1 能量守恒原則

利用能量守恒原則,就是對于一個具有完全彈塑性恢復力特性的單質點體系,在同一地震動的作用下,其不考慮塑性特征的彈性反應和考慮彈塑性特征的彈塑性反應所吸收的能量是基本一致的,如圖1所示。

六個涂層試樣以及無涂層的原始石墨片在1500 ℃空氣中焙燒16 h后質量隨時間變化如圖5所示．從圖5(a)可見：無涂層的原始石墨片在2.5 h后完全燒掉，1號～6號試樣焙燒16 h后失重率W分別為69.45%，1.97%，-0.60%，46.06%，58.91%和0.58%；1號、4號和5號試樣在燒后氧化失重明顯，而2號、3號和6號試樣在燒后失重不明顯．進一步放大分析，從圖5(b)可見，3號試樣燒后沒有氧化失重，相反略有增重，這說明3號試樣抗高溫氧化效果最好．

圖1 彈性和彈塑性反應變形

利用彈性體系結構計算出的彈性力PE和對應位移δE,根據能量守恒的原則,即△OAB的面積與□OCDE的面積相等,計算出其彈塑性位移δP。

2 地震作用力計算

對于規則橋梁,地震動響應比較簡單,橋梁結構特征值分析過程中,起決定作用的模態單一(在一個自由度方向上一般為一次模態),地震作用力可采用反應譜法。

2.1 振動單元

橋梁的振動特性與墩臺的剛度,基礎的特性以及支座條件有關。在計算地震力之前,需要根據整座橋梁的振動特性將地震動作用下不同的振動單元分割開,然后對每一個振動單元進行抗震分析。

縱橋向,當在大的地振動作用下,忽略可動支座動摩阻的影響時：簡支梁一般都是一端設置固定支座,另一端設置活動支座,那簡支梁橋的振動單元就為每個橋墩與其固定支座所聯結的上部結構；連續梁則可能在中間墩采用一個或多個固定(或彈性)支座聯結,那連續梁橋的振動單元為中間設置固定(或彈性)支座的橋墩與整個上部結構。

橫橋向：橋梁的支座在橫橋向上一般都設置為固定,或采用橫向限位裝置的彈性支座,也就是說橋梁的上部結構和墩臺是固定結合的。當橋墩的基礎相同、墩高和跨度差別較小時,每一個振動單元可取一個橋墩與其左右兩跨的各一半上部結構作為一個振動單元；當墩高和跨度差別較大時,則需要將全橋視為一個振動單元。

2.2 橋梁的自振周期

將橋梁的振動單元分割開后,對每一個振動單元進行特征值分析,計算出振動單元的自振周期T。根據規則橋梁的特性,在一個自由度方向上,一次模態為橋梁起決定作用模態,一般認為當一次模態的參與質量大于總質量的80%時,此模態就為橋梁的起決定作用模態,故橋梁的自振周期T可取一次模態對應的周期。橋梁特征值分析時,要比較精確的模擬橫橋向和縱橋向的基礎剛度、橋墩和支座的水平抗推剛度,在大的地震動作用下,橋墩按彈塑性(延性)構件設計時,受拉區截面已開裂,其抗彎剛度也隨之變小,計算時應采用等效抗彎剛度

從圈速排名來看（當然與賽道和車手有關），保時捷排名第一，邁凱倫緊隨其后，兩輛意大利跑車分列第三和第四，奧迪和阿斯頓·馬丁排名墊底。

EcIeff=My/φy

(1)

H——上部結構地震力作用點至墩底的高度,縱橋向為支座頂至墩底的高度,橫橋向為上部結構重心至墩底的高度。

Ieff——橋墩截面的等效抗彎慣性矩，m4；

My——橋墩截面的等效屈服彎矩，kN·m；

φy——My對應的等效屈服曲率(1/m)。

我避囂塵到幽境，一住渾忘旬日永。 春風三月山不寒，飽看青松與紅杏。 半生詞賦何所求，結社思陪慧遠游。 清泉白石信可戀，妻兒待米難淹留。

2.3 橋墩分擔上部結構的重力

所謂橋墩分擔上部結構的重力,就是在地震動作用下,同一個振動單元內,不同的橋墩各自負擔的上部結構重力。將所有上部結構的重力按其作用位置加載在振動單元的水平方向(橫橋向或縱橋向)上時,各墩頂支座處的水平剪力就可視為該墩分擔上部結構的重力。當所有上部結構由一個橋墩支撐時,那該橋墩分擔上部結構重力就為該上部結構的重力；當由多墩支撐時,橋墩支座的剪力總和應為上部結構的總重力。

2.4 地震作用力計算

根據以上所述,計算出橋梁振動單元的的特征周期T和每個橋墩分擔上部結構的重力Gu。橋墩的重力則需要將其簡化到上部結構的作用點處,按照橋墩墩身的地震力在墩底產生的彎矩一致的原則,可采用下式計算

(2)

式中h——橋墩重心至墩底的高度；

二是編制老字號國寶級烹飪大師傳承譜系。這是一項功在當代、利在千秋的搶救性工程，甄選了14位老字號國寶級烹飪大師的師門傳承譜系，是老字號傳承“原汁原味”的立身之本，書中記錄和挖掘這14位受到過黨和國家表彰的“國寶級烹飪大師”的師承體系、絕活絕技，通過走訪他們的徒弟、家人，并搜集整理大量的文字和圖片資料，加以整理、完善。

Gp——橋墩的總重力；

式中Ec——混凝土彈性模量，kPa；

橋墩重力簡化的目的是將一個分布質量的振動體系簡化為一個單質點振動的體系,也可以按其他方法簡化,簡化后換算質點的總重力Gt=Gu+Gd。

In conclusion,Loureirin B plus capsaicin could produce double blockage on TRPV1 and modulation on TTX-R sodium channel.The action of loureirin B on TTX-R sodium channel was independent of TRPV1 but similar with that of capsaicin on TTX-R sodium channel in capsaicin-insensitive DRG neurons.

EP=Gt×Sh/g

(3)

式中EP——換算質點的地震水平力，kN；

Gt——換算質點的總重力，kN；

根據橋梁相應水平方向上的自振周期T和按《細則》5.2條繪制出的水平設計加速度反應譜,可查得對應的反應譜值Sh,則換算質點處的地震水平力

Sh——對應水平方向上的反應譜值，g；

g——重力加速度值。

3 繪制墩柱截面的等效屈服曲率圖

對于一個截面尺寸和配筋都已確定的截面,在特定的軸力N作用下,通過疊代計算就能繪制出一條該截面對應的M-φ曲線,如圖2中的細實線。這是一條非常接近理想彈塑性截面的M-φ曲線,為了簡化計算,需要將其簡化為理想彈塑性截面的M-φ關系,如圖2中的粗實線。考慮受壓區保護層混凝土作用的影響,根據《細則》7.4.4條中所采用“面積相等”的簡化原則,本文將截面的等效屈服彎矩My簡化為其截面極限破壞狀態的彎矩Mu,即:

My=Mu

(4)

根據相似三角形原理

魯文公十七年，上距臧文仲去世已經七年，襄仲仍然引其語來判斷齊君的言論，這就是叔孫豹所說的“既沒，其言立”。而從“民主偷必死”這句話來看，先秦所謂“不朽”之“立言”，實乃充滿道德感和智慧的簡短言辭。

CHANG Xiao-zan, ZHANG Lei, LI Zi-fu, XU Yi, HUANG Qing-hai, LIU Jian-min, YANG Peng-fei, HONG Bo

(5)

上式符號意義參見圖2。

圖2 鋼筋混凝土截面等效曲率

如上在對截面進行理想彈塑性截面簡化過程中,只需求出其My0、φy0、Mu、φu四個參數值就可以了,My0、φy0為受拉區最外緣鋼筋開始屈服時對應的值,Mu、φu為受壓側核心內混凝土外緣或受拉區最外緣鋼筋的應變達到《細則》7.4.5條規定的極限值時對應的值。

繪制鋼筋混凝土截面的實際M-φ關系曲線可采用“條帶法”進行計算,本文計算實例中混凝土的應力、應變關系采用《混凝土結構設計規范》(GB50010—2002)中7.1.2條的規定,對于保護層混凝土完全按該條的計算方法,但對核心內混凝土的峰值壓應力和極限壓應變兩個參數按照《細則》7.4.5條的規定采用。

4 墩柱的變形計算

為了簡化墩柱隨墩高方向上不同的塑性轉動,《細則》引入了等效塑性鉸長度Lp的概念,假定墩柱根部進入屈服狀態后,整個Lp范圍就都進入了塑性狀態(即塑性鉸區的等效屈服轉角θy=φy×Lp),塑性轉動只發生在Lp范圍內且均勻分布,也就是說將整個橋墩模擬為塑性鉸區的理想彈塑性體和非塑性鉸區的理想彈性體。

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利用圖1的方法計算塑性鉸的彈塑性變形,將其縱坐標軸變換為彎矩M,水平軸變換為轉角θ,根據△OAB的面積與□OCDE的面積相等,可以推導出塑性鉸在進入塑性后的彈塑性轉角

(6)

上式中的θ包含了塑性鉸在彈性區段內的轉角θy,扣除后就可得其塑性區段內的轉角θp

(7)

式中ME——不考慮塑性變形的情況下,計算出橋墩根部的彈性彎矩,包含恒荷載作用下的初始彎矩；其他符號意義參見圖2。

長三角一體化上升為國家戰略，能夠提升區域和國家競爭力，更好地參與國際競爭與合作。從長三角城市群的發展來看，中心城市上海在經濟實力、科創實力、國際競爭能力等方面表現突出，帶動城市及區域共同體發展作用顯著。同時，有利于理順我國區域發展格局，促進各大區域戰略互補互動、互聯互通，帶動我國實現陸海全域發展。

5 獨柱墩(或獨柱模式)計算實例

某橋為(30+40+2×30) m的連續箱梁橋,縱橋向在40 m跨右側的橋墩上設置兩個縱向固定的鋼制球形抗震支座,其余支座均為縱向滑動、橫向固定,橋墩采用雙柱門形橋墩(墩柱中心間距3.0 m),C40混凝土,墩柱截面以及配筋見圖3,墩高7.5 m,梁底至墩頂的高度為0.3 m,承臺高2.0 m,基礎由4根φ1.2 m的鉆孔灌注樁組成,上部結構總重力59 240 kN,固定墩的單支座恒荷載反力7 915 kN,橋墩總重力為1 238 kN。該橋的抗震設防烈度為8度,對應的水平向設計基本地振動加速度峰值為0.2g,區劃圖上的特征周期為0.35 s,場地類型為Ⅱ類。本例按該橋的地震設防等級,驗算其在E2地震作用下的塑性鉸的轉動能力。

圖3 實例墩柱截面及配筋(單位：cm)

根據以上條件,計算中忽略滑動支座的影響,視設置固定支座的橋墩和全聯上部結構為該橋縱向振動單元。根據橋墩的實際結構,墩柱的有效抗彎剛度采用EcIeff=12 933 235 kN·m2,上部結構的質量作用點設置在梁底,對該振動單元進行特征值分析,該橋一次模態的振動參與質量為98.4%,所以取該模態的周期為橋梁縱向自振周期,T=2.15 s,查對應反應譜的譜值Sh=0.125g,故上部結構等效質量換算點處的水平力：

PE=(59 240+1 238/2)×0.125g/g=8 179 kN

作用于每個墩柱柱底的彈性計算彎矩

ME=PE×H/2=8 179×(7.5+0.3) /2=

31 898 kN·m

θp≤θa滿足要求。本文用θa表示容許轉角,以區別后文提到的極限轉角θu。

My0=14 301 kN·m，φy0=1.150 7×10-31/m

Mu=16 525 kN·m，φu=2.098 8×10-21/m

在植根中國發展的同時，ABB積極履行企業社會責任，關注和參與中國慈善、教育與環保事業。在本屆“ABB電力與自動化世界”活動上，ABB連續第14年向“ABB-新長城特困大學生助學基金”捐助100萬元，以資助國內高校電氣工程和自動化等相關專業特困學生完成學業。截至目前，ABB已累計捐助約1600萬元，有46所高校的4300多名大學生和近千名技校學生受益。

圖2示，2014年黑龍江省腫瘤登記地區惡性腫瘤死亡率在≤30歲緩慢上升，>30歲快速上升，男性死亡率高于女性，并且男性和女性死亡高峰都在85歲；城市地區，≤10歲女性死亡率高于男性，>10歲男性死亡率高于女性；農村地區，≤35歲男女死亡病率交替升高，>35歲男性死亡率高于女性。

φy=16 525×1.150 7×10-3/14 301=

1.277 8×10-31/m

根據《細則》中計算塑性鉸長度的方法得LP=0.808 m,由公式(7)可得

θp=0.5×[(31 898/16 525)2-1]×1.277 8×

10-3×0.808=1.9×10-3×0.808=1.407 3×10-3

由《細則》中式7.4.3-1

θa=(φu-φy)×Lp/K=(2.098 8×10-2-

1.277 8×10-3)×0.808/2=7.962 9×10-3

在柱底對應軸力7 915+1 238/2=8 534 kN作用下,根據截面和配筋特性計算出截面的特征值如下

由公式(5)可得

6 框架墩

當在地震水平力作用下,若墩柱所受的軸力不發生變化,墩柱截面的M-φ就是一個特定而不會改變的關系,但框架墩在橫橋向上作用的水平力會使墩柱的豎向力發生改變,截面的M-φ關系也隨之改變,這就需要對框架墩進行靜力非線性分析。

與獨柱墩不同,框架墩在驗算其塑性變形能力時可發生的塑性鉸并非單一,而是多個。同樣將橋墩視為一個具有完全彈塑性恢復力特性約束,上部結構作用點視為質點,框架墩重力按式(2)簡化到該點處,根據能量守衡原理,地震動作用下,該質點產生的水平力所做的功與橋墩變形吸收的能量是相等的。為了能使框架墩的彈塑性變形表述更簡單明確,采用上部結構作用點處的水平力P和水平位移δ來表述橋墩的彈塑性變形。

在對框架墩進行靜力非線性分析過程中,隨著上部結構作用點在水平方向上的作用力不斷增加的過程,根據各個墩柱塑性鉸處的N-M-φ關系以及塑性鉸發生的前后關系(此過程伴隨著力的重新分配),可以繪制出一條關于上部結構作用點處水平力和水平位移的P-δ關系,即將圖2中的縱軸改為P,橫軸改為δ,細實線為實際履歷曲線。

6.1 初屈服狀態判斷

隨著水平力的增加,各塑性鉸依次進入屈服狀態,當第一個進入塑性狀態的塑性鉸發生時,框架墩整體結構的剛度會變小,上部結構作用點對應的水平位移可視為框架墩整體結構的初屈服位移δy0,對應的水平力則為橋墩的初屈服水平力Py0。

6.2 極限狀態判斷

框架墩與獨柱墩有所不同,當第一個達到極限狀態的塑性鉸發生時,由于結構的整體作用,整體結構并未達到了極限狀態,日本道路橋示方書·同解說Ⅴ耐震設計篇中10.8條中規定：對于單層框架墩,當所有塑性鉸都達到極限狀態或某一個塑性鉸的轉角達到了其極限轉角的2倍時,才認為框架墩達到了極限狀態,此時上部結構作用點對應的水平位移為框架墩的極限位移δu,對應的水平力則為橋墩的極限水平力Pu。

6.3 繪制框架墩上部結構作用點的等效屈服P-δ關系圖

利用式(4)和式(5)的原理,可以計算出上部結構作用點處的等效屈服水平力Py和水平位移δy,即

課程總評成績為：平時成績占50%，期末成績占 50%，總成績100分。這樣既能調動學生上課的積極性，又避免了“一考定終身”的局面。

Py=Pu

(8)

(9)

這樣就可以繪制框架墩上部結構作用點處等效屈服P-δ關系圖,即將圖2中的縱軸改為P,橫軸改為δ后的粗實線。

6.4 計算框架墩上部結構作用點的彈塑性位移

利用圖1的原理,只需要將式(6)和式(7)做一個簡單的符號替換就可以了,即

(10)

(11)

式中δ——橋墩上部結構作用點處彈塑性水平位移，m；

δp——橋墩上部結構作用點處塑性區內的水平位移，m；

δy——橋墩等效屈服位移，m,即橋墩結構等效屈服時上部結構作用點的水平位移；

PE——不考慮塑性變形的情況下,計算出橋墩上部結構作用點的水平力，kN；

對該網絡模型，可用42個加速度頻譜所代表的不同情況來訓練。它們從設置在框架上的加速度傳感器記錄轉換而得，這些譜值中包含著哪個構件是受損的以及損壞程度的信息，具體是指以下方面：

Py——橋墩等效屈服水平力，kN,即橋墩結構等效屈服時上部結構作用點的水平力。

6.5 計算框架墩上部結構作用點的容許水平位移

根據功的表達式,當用彎矩M和轉角θ表達時為W=M·θ,當用水平力P和水平變位δ表達時為W=P·δ。首先對《細則》中式7.4.3-1{θa=Lp(φu-φy)/K} 做個等價轉換,該式是按獨柱墩塑性鉸的轉動角參數表示其塑性區段內的容許變形,也就是塑性鉸在塑性區段內的容許轉角為(θu-θy)/K。顯然,對于塑性鉸的某一個轉角θi,上部結構作用點都有唯一對應的水平位移δi,若用上部結構作用點處的水平位移表示其塑性區段內的容許變形,則可以寫成

δa=(δu-δy)/K

(12)

式中δa——上部結構作用點處塑性區段內的容許水平位移，m；

δu——橋墩極限位移。獨柱墩為塑性鉸達到極限轉角(θu=Lpφu)時上部結構作用點對應的位移，m；

δy——橋墩等效屈服位移。獨柱墩為塑性鉸達到等效屈服轉角(θy=Lpφy)時上部結構作用點對應的位移，m。

綜上所述,若用上部結構作用點處的水平力P和水平位移δ來表達橋墩的彈塑性變形,則可以將獨柱墩和框架墩統一起來,就可以采用式(12)來計算橋墩在塑性區段內的容許變形,但這與《細則》7.4.8條規定的容許變形有所不同,這里只是一個參考。

7 結語

當橋墩變形進入塑性區段以后,質量作用點處的實際位移相對假定為完全彈性體的位移要大,也就是橋梁體系的實際自振周期比按完全彈性體計算得到的周期要長。根據反映譜曲線圖,當周期大于0.1 s 后,隨著體系周期的增長,地震作用力只維持平衡或減小。所以當橋梁的地震動響應不復雜的情況下,利用能量守恒原則計算橋墩的彈塑性變形是偏安全的,并能很大程度上簡化計算方法。

[1]JTG/T B02—01—2008,公路橋梁抗震設計細則[S].

[2]GB 50011—2001,建筑抗震設計規范[S].

[3]GB 50010—2002,混凝土結構設計規范[S].

[4]道路橋示方書·同解說,Ⅴ耐震設計篇[S].東京：日本道路協會,平成14年3月.

[5]范立礎.橋梁延性抗震設計[M].北京：人民交通出版社,2001.