柔性機械臂逆動力學問題的分析和求解

孟慶元

（天津工業大學，天津 300160）

雙連桿柔性機械臂，是柔性系統中最為典型的例子之一。在實踐中，對其端點的運動實現精確的控制的最重要因素，是控制算法的計算速度，復雜的控制算法難以實現。而逆動力學建模和控制是緊密相關的，通過逆動力學方法，得到一個比較精確的驅動力矩作為前饋，再施以適當的控制算法，以實現對機械臂的高速、高精度控制，則是一種具有實效的方法。

關于柔性臂控制的逆動力學方法的研究，報道尚不多見，其中文獻[1~5]對動力學方程解耦，即把動力學方程近似分解成一些相對簡單的系統，從而得到逆動力學的表達式。Matsuno通過對采用切線坐標系的動力學模型進行簡化[4]，得到了一種實時的逆動力學方法。Gof ron等應用了驅動約束法[5]，把期望運動處理成非定常約束。Bayo在頻域內進行了逆動力學求解[6]。

在逆動力求解中，常常會遇到求得的力矩不準、力矩振蕩很大、求解繁瑣等問題。因此，討論逆動力學求解的特點和性質是非常重要的，并有助于采用合理的方式得到比較好的前饋力矩。

1 動力學和逆動力學模型

一般情況下，柔性機械臂的兩根連桿橫向彈性變形（彎曲）較小，則忽略機械臂的徑向變形；假定關節及臂端負載均為集中質量，則忽略其大小。同時，暫不考慮電機轉子的轉動慣量和電機的阻尼。

圖1 雙連桿柔性臂

圖1是一雙連桿柔性機械臂，兩臂間關節電機質量為m1，上臂端部集中質量為m2，兩連桿質量和抗彎剛度分別為M1和M2，EI1和 EI2，兩連桿的長度分別為 L1和 L2，J1和J2為兩關節電機提供的力矩。

連桿變形很小，對每根連桿建立一個運動坐標系，使得連桿在其中的相對運動很小。機械臂的整體運動，則可由這兩個動坐標系的方位角來描述。于是，在動力學模型中將有兩類變量，一類是幅值很小，但變化迅速的彈性坐標；另一類是變化范圍較大的方位角。本文采用端點連線坐標系，即將連桿兩端點的連線作為動坐標系的x軸（見圖1）。描述整體運動的是兩個角度θ1和θ2，而連桿相對于動坐標系的運動，則可視為簡支梁的振動。這樣，動力學模型剛度陣的彈性坐標互相不耦合，臂端的位置可由θ1和θ2確定，其期望運動形式（或數值解）：

如采用其他形式的動坐標系，兩桿的彈性坐標將耦合在一起，而且在逆動力學求解時，將不得不處理微分方程與代數方程組合的方程組。

對每個機械臂取兩階模態坐標來描述，應用拉格朗日方法得到動力學方程：

式中，M為6×6質量陣；H為速度的二次項；K為6×6剛度陣；f為重力的廣義力向量；Qτ為驅動力矩的廣義力向量其中a1和a2、b1和b2分別是兩個機械臂的一階和二階彈性坐標。

柔性臂系統的逆動力學問題，是指在已知期望末端操作器運動軌跡的情況下，結合逆運動學與動力學方程對關節力矩進行求解。如果直接進行逆動力學求解，即把式（1）代入動力學方程式（2）中，對方程中的彈性坐標和力矩進行求解，一般情況下，其數值解將很快發散。

表達系統運動狀態的坐標，可以看成有兩部分組成：大范圍的相對緩慢的運動（慢變）部分和小范圍的振動（快變）部分。本文試圖將這兩部分分離，分別討論其逆動力學特性，并以此來分析整體系統的逆動力學問題。

2 快變部分的逆動力學問題

首先，尋求兩個關節力矩使端點保持不動，先不考慮大范圍的運動。此時，重力只起了一個改變平衡點的作用，在方程中把與它相關的部分略去，在動力學方程（2）中令

在方程（3）中消去 τ1和 τ2得

式中，

對式（4）降階：

其中，I是四階單位陣。方程（5）可化為下列形式：

式中A=R-1S。求出A的特征值分別為

因A的特征值存在正實部，則方程（3）所表示的系統不穩定，其解發散，即雙連桿柔性臂在這種情況下，其振動問題的精確逆動力學解是發散的。

A的各特征值在復空間分布關于虛軸對稱，必然會出現正實部，如選取更多階模態函數離散時，會出現同樣的情況。因此，選取更多階模態函數離散時，其振動問題的逆動力學解是發散的。

有文章提出，用迭代法進行逆動力學求解，當積分步長很小時，其解是發散的；當積分步長較大時，便可得到較好的結果。其原因是因為快變部分的逆動力學解發散，當步長較大時，相當濾掉了快變部分，便可得到較好的結果。

3 慢變意義上的逆動力學

在進行慢變意義上的逆動力學求解時，應試圖將彈性坐標中的振動部分濾掉，彈性坐標中不應含有振動部分，再結合期望的 θ1、 θ2求得力矩。

4 結束語

由以上分析可以看出，對于柔性機械臂系統，振動部分的精確逆動力學解是發散的，進行逆動力學求解時，應濾掉振動部分，在慢變的意義上進行，才能得到比較好的前饋力矩。

[1]Matsuno F,Sakawa Y.Dynamic hybrid position/force control of a two degree-of -freedom flexible manipulator[J].Journal of Robotic Systems,1994,11(5):355-366.

[2]Yoshikawa T.Dynamic hybrid position/force control of robot manipulators-description of hand constraints and calculation of joint driving force[J].IEEEJRA,1987,(3):386-392.

[3]KwonDS,Book WJ.An inverse dynamic method yieldingflexible manipulator state trajectories[C].Proceedings of the American Control Conference,SanDiego,PublbyAmerican Automatic Control Council,1990,27-37.

[4]Matsuno F.Modeling and quasi-static hybrid position/force control of constrained planar two-link flexible manipulators[J].IEEE Transactions onRoboticsandAutomation,1994,10(5):287-297.

[5]Gof ron M,Shabana A A.Control structure interaction in the nonlinear analysis of flexible mechanical systems[J].Nonlinear Dynamics,1993,(4):183-206.

[6]Bayo E,Moulin H.An efficient computation of the inverse dynamics of flexible manipulators in the time domain[C].Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation,Scottsdale,Publ by IEEE,1989,710-715.