各向異性介質橢球內電場的研究

李應樂，王明軍，董群峰

（咸陽師范學院，陜西 咸陽 712000）

研究球類目標體系的電磁散射特性及其應用受到國內外學者的普遍關注。單個各向同性球體目標的內外電場問題已被很好解決[1—4]，在平面電磁波沿x 方向極化、z 方向傳播時介質球和導體球目標散射特性已有詳細的報道[3—5]，文獻[6]研究了球體目標對任意入射、任意極化的平面電磁波的散射，文獻[7—9]利用尺度分析法和曲面坐標系分別研究了平面電磁波沿x方向極化、z方向傳播時橢球目標的電磁散射。同時，文獻[10]將高斯波束展為球矢量函數，利用Mie理論研究了高斯波束對雙層球形目標的輻射俘獲力；文獻[11]采用了與文獻[10]大致相同的方法討論了球形目標體系的高斯波束散射特性；Holler等[12—13]研究了球形目標群對高斯激光脈沖的散射、吸收特性；金亞秋等[14—16]研究了分層隨機球體目標群對平面波和高斯波束的散射等特性。然而有關各向異性介質橢球目標體系的電磁散射等研究還不盡人意，主要的困難是在各向同性條件下引入的有關輔助位函數在各向異性條件下不能成立，而且描述目標的電磁參數張量因坐標系的變化而變化。有研究表明，如果已知任意形體的各向異性目標內的電場[3]，那么該目標的散射問題已被確定。基于電磁場的多尺度變換理論，將各向異性橢球目標重整為各向同性橢球目標，可得出各向異性介質橢球內電場的解析表達式；對其正確性進行了檢驗，對介電常數張量、橢球形狀參數對球內電場的影響進行了仿真計算，結果為研究各向異性橢球目標的瑞利散射特性提供了理論支持。

1 各向異性介質橢球內電場的研究

1.1 各向異性橢球的重建

設一個半長軸分別為a，b，c 的各向異性介質橢球，球心位于主坐標系的原點，介電常數為：

橢球方程為：

式中：ε1，ε2，ε3為相對介電常數，無量綱。在主坐標系中電勢u滿足方程：

對式（2）作如下變換：

引入新的尺度坐標系，該坐標系中的坐標參數為x′，y′，z′，與主坐標系的坐標參數的關系為：

將上式代入式（2）得電勢在尺度坐標系中的微分方程：

在式（3）中利用了尺度坐標系中的電勢u′與主坐標系中的電勢u 相等這一特性（見文獻[8—9]）。式（3）表明：經歷多尺度變換后，主坐標系中各向異性的介質目標在尺度坐標系中已被重建為各向同性的介質目標，從而使有關問題的求解簡化。重建后橢球方程式（1b）變為：

1.2 各向異性介質橢球內電場的求解

設外電場強度在主坐標系中的大小為E0，方位角為θ0，φ0。該電場在主坐標系的主軸分量分別為：

由于在對目標重整的過程中引入了新的坐標，測量的4 個基本量之一長度發生了變化，定義在主坐標系中的電場強度大小在尺度坐標系中必然發生改變；由文獻[8—9]主坐標系中電場強度與尺度坐標系中電場強度之間的關系，易求得在尺度坐標系中外電場的分量為：

由文獻[2—3]可知，一個各向同性的相對介電常數為εra=εa/ε0的橢球目標的內電場與外電場的關系為：

適當地調換a′，b′，c′就可以得到E′y，E′z分量的表達式，形狀因子Ly，Lz，Lx，滿足Ly+Lx+Lz= ；式（8）是尺度坐標系中橢球目標內部電場的表達式，在主坐標系中橢球內部的電場為：

同理可得：

式（11）和式（10）分別是各向異性橢球目標內部電場在不同方向的表達式，由此可得橢球內部的總電場與外電場之間夾角β的余弦函數為：

當橢球為各向同性橢球時，即ε1=ε2=ε3=εr，由εa的定義及式（5）可知：

εra=εr， a′=a， b′=b， c′=c

此時，式（11）和式（10）分別變為各向同性橢球目標內部電場在不同方向的表達式，與文獻[2—3]結果完全一致，以x分量為例，即：

當a =b=c=R時，橢球將變為球形目標，Lx變為：

式（14）與現有文獻結果也完全一致。選擇橢球形體參數a=1 m，b=1.5 m 和c=2 m，部分仿真結果如下：圖1是外場方位角為θ0=π/6，φ0=π/4時總電場的大小隨介電常數張量的變化。介電常數張量元素越大，內場越小。由于各向異性橢球的內電場是外電場與附加電場的疊加，附加電場與外電場的方向相反，正比于極化強度矢量的大小，而極化強度矢量的大小正比于介電常數的大小。圖2所示為電場強度的大小隨入射角的變化，在φ0一定的條件下，總場隨θ0的變化呈現出非線性，在θ0=π/2 時達最大值。在θ0一定的條件下，隨φ0的增大而減小，這是由于當方位角θ0=π/2，φ0=0外電場在坐標軸z方向上的分量最小，而該方向的介電常數又最大，從而導致總的極化強度矢量最小。由此可以推出：當外電場與某一坐標軸重合時，各向異性橢球的內場將達到極值分布。圖3為各向異性橢球內部電場的方向與外電場方向之間的夾角隨介電常數張量的變化。顯然，介電常數越大，它們之間的夾角也越大，但最大值不會超過2°；由于介質是各向異性介質，介電常數越大，介質極化后產生的電偶極矩越大，產生的附加電場越大，從而對總場方向的改變也越大。圖4表明：夾角β隨外電場方位角的變化而變化，但變化范圍較小，在近似計算中可以認為夾角β不隨外電場方位角的變化而變化。但是夾角β隨外電場方位角的變化而變化也表明了目標的電磁各向異性特性。

2 結論

圖1 電場強度隨介電常數張量的變化Fig.1 The change of electric field with dielectric constant tensor

圖2 電場強度隨入射角的變化Fig.2 The change of electric field with incident angle

圖3 夾角β隨介電常數張量的變化Fig.3 The change of angle β with dielectric constant tensor

圖4 夾角β隨入射角的變化Fig.4 The change of angle β with incident angle

研究了外電場中一個各向異性的介質橢球目標內電場的分布規律；從電磁場的多尺度變換理論出發，對各向異性橢球目標的電磁參數和形體進行重整，得出了各向異性介質橢球內電場的解析表達式，將所得結果退化到各向同性介質中時，與文獻所得結果完全一致。計算了橢球內電場方向與外電場方向的夾角，仿真計算了入射場方位角、各向異性介質電參數對橢球內電場方向與大小的影響，結果表明：入射電場的方向對橢球內電場的大小和方向影響不大，介電常數對橢球內電場的方向和大小有較大的影響。由于許多目標都呈現出電磁各向異性，因此所得結果為研究目標Rayleigh 電磁散射等奠定了理論基礎。

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