潛艇模型尾流場脈動速度及壓力的子波自相關分析

謝 華，姚惠之，田于逵，王小慶

（中國船舶科學研究中心，江蘇 無錫 214082）

1 引 言

船舶流體力學領域，艦艇尾部流場一直是備受關注的問題，因為它是影響艦艇阻力、推進效率以及推進器噪聲的重要因素，同時也是影響艦艇體振動的因素之一。而艦艇尾部流場是復雜的湍流，在空間和時間上都有著復雜的結構。因此，研究潛艇尾部湍流非定常特性，即時間上的不穩定度的概念表達及其試驗提取技術，對于改善其水動力和噪聲性能，具有十分重要的意義。

子波變換（又稱小波變換）是已經發展起來的一種數字信號處理方法，在信號和圖象壓縮中得到應用。傳統的傅里葉變換通過尋找信號的幅度和相位頻譜，用它的頻率分量對信號進行分析。但它不能將特性隨時間變化的信號（非平穩信號）與特性不隨時間變化的信號（平穩信號）區分開來。子波變換的特點是用不同的分辨率分析信號中的不同頻率分量[1]，它通過信號與稱為子波的解析函數進行卷積將信號在時域與頻域同時分解開來，因此子波變換是一種時頻雙局部化方法。它可以在信號的任意位置對信號的頻率成分進行局部化分析，將信號分解成能量有限的不同尺度的局部性的子波結構分量的疊加。這在湍流物理上具有重要意義。構成湍流的基本結構是一系列不同尺度的湍渦，湍渦的空間、時間局域性結構使得湍流表現一定的時、空間歇性。對湍流信號的恰當的分解應當是將湍流信號分解為子波這樣的能量有限的有一定尺度的局部的湍渦結構[2]。

子波分解得到的子波系數，反映了湍流不同尺度渦的信息，對分尺度子波系數進行相關運算，能夠顯示不同大小的渦在時域上的擬序運動以及某一瞬時空間結構上各尺度渦間的相互作用和關聯程度。時域相關平面圖能夠以可視化方式顯示湍流多尺度渦隨時間的演化過程[3]。

2 子波分析方法

設一維信號s（t）∈L2（R ），在子波函數 ψa,b（t）下的連續子波變換Ws（a,b）定義為：

其中子波函數族ψab（t）是由子波母函數ψ（t）經過參數b平移和參數a伸縮變換而來：

本文選用Morlet子波作為子波母函數，其簡化的解析表達式為：

式中ω0為常數。在ω0≥5的條件下，此子波函數能滿足容許性條件。子波函數的尺度a與實際的時間尺度有一定的比例關系，當ω0=6.203 61時，子波函數的尺度a與實際的時間尺度有1:1的關系。

信號s（t）的能量可以根據子波系數Ws（a,b）平方的積分表達為：

其中

原始信號s（t）可以由下列子波逆變換進行重構：

3 實驗概況

實驗在風洞中進行。風洞試驗段尺寸為長×寬×高=8.5m×3.0m×3.0m，橫截面為八角形，橫截面積為7.875m2，風速為3～93m/s連續可調，紊流度0.1%。熱線風速儀為丹麥Dantec公司產StreamLine90型，帶有探頭自動標定單元，量程為0.02～300m/s。

脈動壓力測試系統由NS-1微型動態壓力傳感器組、TEAC-SA-55放大器、CRAS數據采集單元以及測控計算機組成，用與多點脈動壓力測量。其中NS-1微型動態壓力傳感器有關技術參數為：表面安裝尺寸為φ3.6mm，測量面積直徑2mm，固有頻率＞50kHz,量程為 12kPa（差壓），綜合精度為0.1%。

試驗是在常溫、常壓、空氣介質條件下進行模型吹風。試驗風速取U=20m/s。按模型長度L=4.2m、空氣運動粘性系數ν=1.394×10-5m2/s（試驗期平均氣溫8℃）計算，對應試驗雷諾數Re達6.0×106。測點距艇艏3.57m。模型由前后二支桿固定支撐在風洞試驗段中部，模型中軸線與風洞實驗段中心線重合。實驗中同步測量脈動壓力和速度信號，采樣頻率取f=20 000Hz，樣本長度N=1 200 000，單點采樣時間達T=60s。具體的測試系統簡圖見圖1。

圖1 潛艇尾流場測試系統示意圖Fig.1 Meraure system of submarine model wake

4 實驗結果分析

通常我們對實驗中測得的湍流信號，如流速u（t）、壓強p（t）的分析，按擬序結構觀點都采取三項分解形式[4-6]。 設f（t）代表某一湍流物理量

4.1 尾流場頻率特性子波系數與子波能譜分析

小波變換是按渦的尺度分解湍流的一種有效的工具，其子波能譜圖反映了不同尺度的湍渦結構對湍流能量的貢獻。對子波系數Ws（a,b）進行分析可以得到湍流速度等脈動信號某一時刻的頻率特性，這為湍流尾流間歇性的分析提供了強有力的技術手段。

圖2為距離壁面高度z=35mm（y+=1 053）的脈動速度子波系數圖和子波能譜圖。從圖2中看到，在湍流邊界層內，脈動速度信號中的頻率成分很多，能量主要集中在周期0.008s＜a＜0.12s處，與子波能譜圖中的時間周期相對應。圖3為脈動壓力的子波系數和子波能譜圖。壁面脈動壓力的主要頻率成分相對較少，且頻率較為固定，能量主要集中在a=0.05，a=0.007 6兩個時間周期上。

對比脈動壓力與脈動速度的子波系數和子波能譜圖可知，脈動速度出現了更多的含能量較多的子波分量，但與強烈脈動壓力出現的時刻不一致。表明脈動速度、脈動壓力相互作用，既有相位差，同時也是非線性的。而且從圖中可以看出，隨著脈動壓力、脈動速度周期變大，其強度也增大。表明相對低頻區域，是該兩信號含能的主要區域。

圖2 脈動速度子波分析圖（z=35mm）Fig.2 Wavelet analysis curve of fluctuating velocity

圖3 壁面脈動壓力子波分析圖Fig.3 Wavelet analysis curve of wall pressure fluctuating

4.2 脈動壓力與脈動速度信號的自相關分析

一維信號x（）t的自相關函數定義為

泰勒尺度T是一個與湍流粘性耗散相聯系的小尺度渦的長度尺度，沿壁面向外泰勒尺度是增大的。對于積分尺度則需要對曲線積分，而實驗中原始數據的自相關函數曲線往往隨時間延遲呈現不規則的周期性特征，使積分尺度難以合理地確定，這實際上是湍流中多尺度結構做擬周期運動相互疊加后的結果，需要辨識各分尺度各自的運動規律。如圖4所示，在對數層內區z=5mm（y＋=150）的自相關函數曲線上有很多小的周期性脈動存在，難以準確描述其周期長度，到了對數層外區z=80mm（y＋=2 400）曲線變得更光滑，說明小的擬序結構消失了，剩下的是較大尺度的湍渦擬序運動。

圖5為脈動壓力的自相關曲線。由圖可見，脈動壓力相關曲線比較光滑，呈現出明顯的周期性，說明脈動壓力主要是大尺度湍渦結構的擬序運動，而小尺度脈動影響很小。

4.3 脈動壓力與脈動速度子波系數自相關分析

流動顯示技術可從一定角度展示湍流邊界層的大尺度擬序結構的空間分布及時間演化現象，但缺乏定量的分析能力，只是對大尺度擬序結構的定性描述，捕捉不到更精細的小尺度結構的運動規律，無法解釋湍流多尺度結構的相互作用機理，而連續子波變換能夠抓住湍流的多尺度特征，定性和定量地分析不同湍渦的時間演化和相互作用，提取流動顯示無法獲得的多尺度結構，更全面、真實地反映流場的實際狀況。

圖4 邊界層脈動速度自相關曲線Fig.4 Fluctuating velocity auto-correlation curve

圖5 脈動壓力自相關曲線Fig.5 Auto-correlation curve of wall pressure fluctuating

Li等人[3]采用對分尺度子波系數進行自相關分析的方法，得到湍流結構的量化信息，豐富了流場可視化的手段。其子波自相關函數的定義為

為了更清楚地顯示湍流中湍渦的運動，我們將每個尺度的子波系數作自相關函數，可以分析該尺度湍流結構的周期性運動規律，綜合所有尺度的自相關函數，能夠得到整體湍流多尺度結構的時間尺度相關平面，從時域的角度顯示流動結構的周期性特征，表現多尺度相干渦的相互作用規律。圖6為采用Morlet子波基函數對脈動速度進行子波自相關分析得到的時間尺度相關平面。

對比圖4和圖6，脈動速度信號中存在著多尺度的相干渦，其自相關函數曲線蘊含的多尺度渦做周期運動、相互作用引起渦的合并及破碎的特征，在子波自相關時間尺度平面上清楚地顯示出來。根據圖6我們可以得到某一時間周期內相關函數隨時間變化的趨勢和某一時刻相關函數隨時間周期變化的趨勢，如圖7所示。

從圖7可以看到，在a=0.1s處相關函數曲線呈周期性分布，表明在這個尺度下主要是大尺度渦的擬周期運動，而小尺度脈動影響很小。

為了更清楚地研究小尺度渦的運動，我們將子波自相關圖分別放大了2倍，4倍，8倍，16倍進行了 分析，見圖8。

圖6 脈動速度子波系數自相關曲線（z=5mm）Fig.6 Auto-correlation of fluctuation velocity wavelet

圖7 相關曲線隨某一時間或某個時間周期變化曲線Fig.7 Correlation curve varied with some time or period

圖中b坐標為分析樣本長度時間，尺度a代表時間周期。從圖8中可以清楚地看到各種渦的多尺度時域分布特征。圖中相關性最強的位置是渦心，相鄰渦之間相關性最弱的部分是兩個渦的分界線。某瞬時的相干結構往往不止一個，大尺度與中尺度的渦并存，且具有不同程度的相關性。沿著時間歷程，會有某尺度的渦出現明顯的周期性特征，并伴有與相鄰尺度渦的合并或分離，說明該時間段內做擬序運動的相干渦與鄰近尺度的渦存在強烈相互作用，結果導致渦的合并或破裂，周期終止，經過一段時間后會有下一周期的出現，所以成為一種擬周期的運動形式。例如圖中A點，在t=0.08s時刻，相鄰兩個尺度的渦出現了合并，而到了t=0.14s時刻（圖中B點），相鄰兩個尺度的渦又出現了破裂。這些擬周期的渦主要集中在較大尺度空間中。

圖8 放大后的脈動速度子波系數自相關曲線（z=5mm）Fig.8 Magnified auto-correlation curve of fluctuation velocity wavelet(z=5mm)

圖9 脈動速度子波系數自相關曲線（z=80mm）Fig.9 Auto-correlation curve of fluctuation velocity wavelet(z=80mm)

綜合圖6和圖8可以看到，在a＞0.09s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時間周期性出現。在0.008s＜a＜0.09s處，在不同尺度渦之間強烈的相互作用引起了渦的合并或破裂。在a＜0.008s處，分布著許多小尺度的渦，其相關性近似，具有普遍的分形特征，表明邊界層湍流具有自相似的多尺度結構，各尺度間的相互作用引起不同渦的合并或分離。

從定量上看，圖中所有擬周期運動的渦從相關性最強的10.48到相關性最弱的-10.31，經歷一個運動周期，圖形特征一般為典型的兩個封閉圓；對于非擬周期的結構大多呈現自相似形態，相關強度很小，數量巨大，多分布于a＜0.008s的小尺度范圍內，成為廣泛存在的背景湍流。從各尺度渦的時間尺度相關平面上看，相關性強的渦與無相關性或極弱相關性的區域同時存在，在大尺度向小尺度的過渡過程中，相關性下降很快，小尺度渦的相關性更弱。這部分無相關性的區域是湍流的無結構成分，它廣泛地存在于小尺度范圍內，數量巨大，但含能很少，大尺度渦相互作用過程中能量逐級傳遞，最終被粘性耗散在這最小的尺度上。

由于這種相干結構的擬序運動在邊界層各區域的分布規律各異，我們對對數層外區z=80mm（y+=2 400）所測得的速度信號進行了子波自相關分析。

從圖9中我們可以清楚地看到，在時間周期a=0.02s處存在大尺度的擬序運動，而其他尺度沒有明顯的周期性，說明在對數率層外區，小尺度結構的擬周期運動減少甚至消失，擬序運動只在大尺度上發生。

由于壁壓強脈動是邊界層內所有部分速度脈動的共同貢獻，壁壓強脈動的特性不僅反映線性底層區的相干結構，也綜合反映了對湍流生成貢獻最大的緩沖區相干結構的影響。因此分析壁壓強脈動信號可以間接了解經過邊界層的相干結構的時間特征。圖10為脈動壓力子波自相干曲線圖，由圖可見，在0.05s＜a＜0.1s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時間周期性地出現。在其它尺度范圍內，相關性近似為0，說明脈動壓力信號中主要是較大尺度湍渦的擬序運動，而小尺度脈動影響很小。

圖10 脈動壓力子波系數自相關曲線（z=5mm）Fig.10 Auto-correlation curve fluctuation wall pressure wavelet(z=5mm)

5 結 論

綜上所述，本文采用連續子波變換對脈動速度和脈動壓力進行互相關和自相關分析得到了以下結論：

（1）對比脈動壓力與脈動速度的子波系數和子波能譜圖可知，脈動速度出現了更多的含能量較多的子波分量，但與強烈脈動壓力出現的時刻不一致。表明脈動速度、脈動壓力相互作用，既有相位差，同時也是非線性的。隨著脈動壓力、脈動速度周期變大，其強度也增大。表明相對低頻區域，是該兩信號含能的主要區域。

（2）子波自相關能提供湍流更為豐富的時頻域運動特征信息，對研究湍流邊界層中的猝發過程和相干結構的相互作用顯示出獨特的優勢，可以定性和定量地分析不同湍渦的時間演化和相互作用，提取流動顯示無法獲得的多尺度結構，更全面、真實地反映流場的實際狀況。

（3）子波多尺度自相關函數反映出湍流邊界層相干結構在時空中呈多尺度分布。脈動速度信號自相關曲線中，在a＞0.09s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時間周期性出現。在0.008s＜a＜0.09s處，不同尺度渦之間強烈的相互作用引起了渦的合并或破裂。在a＜0.008s處，分布著許多小尺度的渦，其相關性近似，具有普遍的分形特征，表明邊界層湍流具有自相似的多尺度結構。

（4）壁壓強脈動是邊界層內所有部分速度脈動的共同貢獻，壁壓強脈動的特性不僅反映線性底層區的相干結構，也綜合反映了對湍流生成貢獻最大的緩沖區相干結構的影響。因此分析壁壓強脈動信號可以間接了解經過邊界層的相干結構的時間特征。脈動壓力子波自相關曲線中，在0.05s＜a＜0.1s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時間周期性出現。在其它尺度范圍內，相關性近似為0，說明脈動壓力信號中只存在較大尺度湍渦的擬序運動。

（5）從各尺度渦的時間尺度相關平面上看，相關性強的渦與無相關性或極弱相關性的區域同時存在，在大尺度向小尺度的過渡過程中，相關性下降很快，小尺度渦的相關性更弱。這部分無相關性的區域是湍流的無結構成分，它廣泛存在于小尺度范圍內，數量巨大，但含能很少，大尺度渦相互作用過程中能量逐級傳遞，最終被粘性耗散在這最小的尺度上。

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